第四章 非平稳序列和季节序列模型(上海财经大学统计学系 )

上海财经大学统计学系1非平稳序列和季节序列模型•在实际应用中，我们经常会遇见不满足平稳性的时间序列，尤其在经济领域和商业领域中的时间序列多数都是非平稳的。图4.1是美国1961年1月—1985年12月16-19岁失业女性的月度数据；图4.2是美国1871年—1979年烟草生产量的年度数据。图4.1图4.2上海财经大学统计学系2§4.1均值非平稳•均值非平稳性将对于时变均值函数的估计提出各种问题，我们将引入两种比较常用的模型。•1.确定性趋势模型2.随机趋势模型上海财经大学统计学系3确定性趋势模型•对于非平稳序列的时变均值函数，最简单的处理方法就是考虑均值函数可以由一个时间的确定性函数来描述，这时，可以用回归模型来描述。•假如均值函数服从于线性趋势我们可以利用确定性的线性趋势模型01tt201,~0,tttXtWN上海财经大学统计学系4•如果均值函数服从二次函数则我们可以用•假如均值函数服从k次多项式我们可以使用下列模型建模2012ttt22012,~0,tttXttWN01ktktt201,~0,ktkttXttWN上海财经大学统计学系5•更一般地，在模型中除了确定性趋势之外，其余部分是平稳部分其中由于得到•上述的确定性趋势可以通过差分运算加以消除20,~0,kjtttjttjXatGBWNGBBB0ttEaGBE0kjtjjEXt上海财经大学统计学系6•对于最简单的线性趋势，易得的一阶差分序列则是一个平稳但是非可逆的MA(1)模型。•如果趋势为k次多项式则经过k阶差分得到111ttttXXtXtY11tttttYXXXtY01ktktt0kjtjtjBXtB0kkttBXB0!kk上海财经大学统计学系7随机趋势模型和差分•一种使得均值函数非平稳的情况是自回归参数不满足平稳条件的ARMA模型•例如，考虑AR(1)模型其中。经过简单的迭代计算可得由此，容易得到的方差则当时，的均值和方差都趋向于，这种过程称为爆炸性的。1tttXX100ttittiiXXtX21222201var1ttitiXttX上海财经大学统计学系8§4.2自回归求和移动平均模型（ARIMA）•一般的ARIMA模型•随机游动（RandomWalk）模型上海财经大学统计学系9一般的ARIMA模型•如果时间序列的d阶差分是一个平稳的ARMA(p,q)序列，其中是整数，则称为具有阶p，d和q的自回归求和移动平均（ARIMA）模型，记为。•ARIMA模型的表示ARIMA(p,d,q)模型可以写成tX1dttYBX1dtX~,,tXARIMApdq111dpdpdBBBBB1111ttpdtpdttqtqXXX上海财经大学统计学系10随机游动（RandomWalk）模型•设时间序列有下列模型则称为随机游动序列。“随机游动”一词首次出现于1905年自然（Nature）杂志第72卷PearsonK.和RayleighL.的一篇通信中。该信件的题目是“随机游动问题”。文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。tXtX21,~0,ttttXXWN上海财经大学统计学系11•随机游走过程的均值为零，方差为无限大•随机游动序列是非平稳的时间序列1121ttttttttXXX10tttEXE21varvarttttX上海财经大学统计学系12§4.3方差和自协方差非平稳•根据过程宽平稳定义，当均值为常数时，其协方差也不一定满足平稳条件。前面所述，ARIMA模型的均值函数是依赖于时间的，进一步地，我们说明其方差和协方差也不满足平稳条件。•例如使用模型去拟合个观测序列，关于这个时间原点，模型可以写为211,~0,tttBXBWN0n0n0001121211111ttttttttnttnnXXXX上海财经大学统计学系13•类似地有•假设、和为常数，则可以计算•计算自协方差函数，设•ARIMA模型的方差依赖于时间，且另外，当时，方差的值是无界的；最后序列的自协方差也依赖于时间。0001111tkntktknnXX0n0nX0n220var111tXtn220var111tkXtkn0ntkt220cov,111ttkXXtknvarvarttkXXtvartXcov,ttkXX上海财经大学统计学系14•下面我们考虑另外一类问题，就是有些非平稳时间序列通过有限阶差分不一定能够平稳。有许多序列虽然均值平稳但方差非平稳，此时需要考虑利用适当的变换使得方差平稳。在许多场合，非平稳时间序列的方差随均值水平的改变而变化，即•对于某些正值常数c和函数f()，上述等式成立。我们的工作是寻找一个函数T使得变换后的序列具有同方差。varttXcfttTX上海财经大学统计学系15•若时间序列的标准差与均值水平成正比，即，则•若时间序列的方差与均值水平成正比，即，则•若时间序列的标准差与均值水平的平方成正比，即，则tXtXtX22varttXc1logttttTdfvarttXc12ttttTdf24varttXc11ttttTdf上海财经大学统计学系16•一般地，我们可以采用Box-Cox变换，即该变换是Box和Cox（1964）引入的，这里称为变换参数。1tttXTXX上海财经大学统计学系17§4.4季节时间序列(SARIMA)模型•在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序列。比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。在经济领域中，季节性序列更是随处可见。如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。•处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonalARIMAmodel)，用SARIMA表示。较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicativeseasonalmodel）。上海财经大学统计学系18•设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。首先用季节差分的方法消除周期性变化。季节差分算子定义为，=1-Bs•若季节性时间序列用yt表示，则一次季节差分表示为Xt=(1-Bs)Xt=Xt-Xt-s•对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。P(Bs)Xt=Q(Bs)εtsssDs上海财经大学统计学系19•季节时间序列模型的一般表达式sdDsppstqQt(B)A(B)(X)=(B)B(B)