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PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage1Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel第二章简单线性回归模型:设定与检验龚锋武汉大学经济与管理学院PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage2Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel基础知识回顾2.1经济模型2.2计量经济模型2.3估计回归参数2.4评估最小二乘估计量2.5Gauss-Markov定理2.6最小二乘估计量的概率分布2.7估计残差项的方差2.8估计非线性关系2.9包含指标变量的回归本章内容PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage3Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel基础知识回顾PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage4Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel•1.条件期望•给定Y=y，X的条件期望定义为：XYxEXYyxfxyXxfxydxXfxyXEXYYEXYyyYEXYy如果是离散的如果是连续的其中，为的条件概率密度函数。注意：是条件变量的函数，所以是一个随机变量。而中的是的一个特定取值，所以，是个常数。PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage5Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel•2.条件方差•给定Y=y，X的条件期望定义为：2222XYxVarXYyEXEXYyYyXEXYyfxyXXEXYyfxydxXfxyX如果是离散的如果是连续的其中，为的条件概率密度函数.PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage6Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModelPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage7Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel80801111155606570756555555yEYXyfYyX22222280808011111556560656565706575655555550xVarYXYEYXfYyXPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage8Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel•3.条件期望与条件方差的性质=;=;=;=;=;=+XfXXEfXXfXfXgXXEfXYgXXfXEYXgXXYEYXEYEYEEYXXYVarYXVarYVarYEVarYXVarEYX（1）如果是的函数，则（2）如果和是的函数,则（3）如果和独立，则（4）迭代期望法则：（5）如果和独立，则（6）。,,xxxyyxyEEYXEYXxpxypyxpxypxyypxyypyEY离散型随机变量迭代期望法则的证明:PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage9Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel4.协方差与相关系数协方差的性质：==,,=,,XYXYXYXYXYyxyxXYXYXYCovXYEXYEXYXYCovXYXYfxyXYfxyXYCovXYXYfxydxdyxyfxydxdy令和为两个随机变量，其均值分别为和，二者的协方差为：，如果和为离散随机变量：，如果和为连续随机变量：，(1)0(2).XYCovabXcdYbdCovXY如果和相互独立，则其协方差为；，+，PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage10Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel•定义随机变量X和Y的相关系数为：•衡量的是两个变量线性相关的程度。1,1var()var()xyCovXYCovXYxy，，PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage11Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel2.1经济模型PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage12Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel经济学家对变量间的关系感兴趣；经济理论告诉我们消费支出依赖于收入；因此，我们称y为被解释变量（因变量）,x为解释变量（自变量）；在计量经济学中，我们将被解释变量称为随机变量。解释变量是外生给定或固定的。两个重要的区别：1.相关性V.S.因果性2.回归分析V.S.因果分析V.S.相关分析2.1AnEconomicModelPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage13Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel无条件期望=121.2PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage14Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel对应不同收入水平的60户家庭的每周消费Y40801201602006080100120140160180200220240260280家庭每周收入XPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage15Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModelFigure2.1a给定收入x=1000美元，食品支出y的概率分布2.1AnEconomicModelPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage16Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModelFigure2.1b给定收入x=1000和x=2000时食品支出y的概率分布2.1AnEconomicModelPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage17Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModelPdf是被解释变量的条件密度函数，因为它以x为条件y的条件均值或期望值是◆随机变量的期望值是总体均值的简称，即随机变量概率分布的中心◆随机变量的期望值不同于样本均值，后者仅是数值的算术平均。2.1AnEconomicModelEyxPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage18Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModely的条件方差是σ2，衡量的是y与其条件均值μy|x的偏离程度。参数μy|x和σ2提供了有关总体的有价值的信息。2.1AnEconomicModelPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage19Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel为检验支出和收入的关系，我们必须构建一个经济模型，并构建相应的计量模型，形成定量经济分析的基础。计量模型称之为回归模型。2.1AnEconomicModelPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage20Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModelEq.2.1xxyEy21)|(简单（总体）回归函数可以写作：其中，β1是截距，β2是斜率。它们都是未知但固定的参数。这一模型被称之为简单回归，不是因为它简单，仅仅是因为它的右边只包括一个解释变量。从几何意义上看，总体回归线就是当解释变量取给定值时被解释变量的条件期望值的轨迹。更简单地说，对应于解释变量X的每个给定值都有Y的一个子总体，连接这些子总体的均值就得到总体回归线。Eq.2.122(|)μββyEyxx2.1AnEconomicModelPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage21Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModelPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage22Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel2.1AnEconomicModelFigure2.2经济模型:人均食品支出与收入的线性关系PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage23Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModelEq.2.2“Δ”denotes“changein”and“dE(y|x)/dx”denotesthederivativeoftheexpectedvalueofygivenanxvaluedxxydExxyE)|()|(2回归线的斜率可以写作：其中，“Δ”定义“变动”；“dE(y|x)/dx”定义为给定x的值，y的条件期望值的导数。Eq.2.22(|)(|)βEyxdEyxxdx2.1AnEconomicModelPrinciplesofEconometrics,4thEditionPage24Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel2.2计量经济模型PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage25Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel2.2AnEconometricModelFigure2.3两个收入水平下y的概率密度函数PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage26Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel第一，上图可以看到，随着家庭收入的增加，家庭消费支出平均而言也会增加；但是，对某一特定家庭来说，消费支出与其（固定的）收入水平的关系怎样？图中可以看到，某一特定家庭的消费支出不一定随收入水平增加而增加。第二，特定家庭消费支出与给定收入水平之间有什么关系呢？图中可以看到，给定收入水平X=x的特定家庭的消费支出聚集在收入为x的所有家庭的平均消费支出周围，围绕它的条件均值而分布。PrinciplesofEconometrics,4thEditionPage27Chapter2:TheSimpleLinearRegressionModel把特定家庭的消费支出围绕它的条件期望值的偏差表述为：其中，偏差是一个不可观测的可正可负的随机变量，称之为随机干扰项或随机误差项。对上面方程的解释：给定X的水平，特定家庭的消费支出可以表示为两个成分之和：一是条件期望代表的相同收入水平的所有家庭的平均消费支出，称为系统或确定性成分；二是e代表的随机或非系统性成分。