第五章 分析力学

第5章分析力学引言约束和广义坐标（1）虚功原理（4）拉格朗日方程（6）小振动（1）哈密顿正则方程（2）泊松括号与泊松定理（2）哈密顿原理（2）正则变换（1）引言•机械系统运动的基本规律牛顿定律变分原理牛顿力学分析力学以力、加速度等向量为基本物理量—向量力学以功、能量等标量为基本物理量。本课程将牛顿定律和达朗贝尔－拉格朗日原理作为两个并列的理论基础。拉格朗日方程用s个独立变量来描述力学体系的运动,是二阶常微分方程组，与牛顿第二定律一样.哈密顿正则方程用坐标和动量作为独立变量,独立变量2s个,方程降阶为一阶常微分方程.哈密顿原理变分法分析力学注重的不是力和加速度,而是具有更广泛意义的能量,同时又扩大了坐标的概念.分析力学的方法和结论被方便地应用于物理学其他领域.1.把力学系统作为一个整体考虑(牛顿力学是先质点、再质点系)2.具有简单统一的微分方程分析力学：力学量L(T,V)或H(T,V)不同牛顿力学：运动微分方程不同力学体系不同3.使用范围更广能量概念适用于量子力学，甚至非力学体系；量子力学中的..,,,rr等是没有意义的。4引入广义坐标的意义牛顿力学：kn3个方程分析力学：kn3个方程n个质点，k个约束广义坐标可以是联系着能量的各种物理量（电压，电流，温度，压强），是推广到非力学体系的首要条件。5提出新的力学原理代替牛顿定律哈密顿力学哈密顿原理拉格朗日力学拉格朗日方程矢量力学牛顿力学　三者本质上相同，可以相互证明力学第一原理（相当于“几何公理”）利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。6分析力学特点给定了某一时刻质点的坐标和速度,由动力学方程原则上单值地确定该时刻的加速度,因而能够唯一地确定下一个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度。以此类推,当知道某一时刻的状态，就知道了体系在任一时刻的状态。一群质点的集合，若其中有相互作用，以致其中每一质点的运动，都和其他质点的位置和运动有关，这种集合体就称为力学体系（体系）。1.力学体系约束是对物体运动位置或速度的限制。几乎所有的力学系统都存在着约束。例如，刚体内任意两质点间距离不变；两个刚体用铰链连接；轮子无滑动地滚动；两个质点用不可伸长的绳连接等。对状态的限制也就是对力学体系内各质点的位置和速度加以限制，其数学表示式：(5.1)0321321trrrrrrrrfnn,,,,,;,,,,2.约束约束条件:约束方程、坐标和速度必需满足的条件。3.约束的分类①稳定约束与不稳定约束若限制系统位置的约束不是时间t的函数（在约束方程中不显含时间t），则为稳定约束。可表示为(5.2)0321,,,rrrf若限制系统位置的约束是时间t的函数（在约束方程中将显含时间t），则为不稳定约束。可表示为(5.3)0321trrrf,,,,②不可解约束（双面约束）与可解约束（单面约束）质点始终不能脱离的约束，则为不可解约束（双侧约束）。可表示为0321321nnrrrrrrrrf,,,,;,,,,0321321trrrrrrrrfnn,,,,,;,,,,或若质点虽受到约束，但在某一方向可以脱离的约束，则为可解约束。可表示为不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和不等式表示。0321321nnrrrrrrrrf,,,,;,,,,0321321trrrrrrrrfnn,,,,,;,,,,或0321321trrrrrrrrfnn,,,,,;,,,,或0321321nnrrrrrrrrf,,,,;,,,,或③几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速度没有限制,这种约束称为几何约束(geometricalconstraint)。可表示为0321trrrf,,,,例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束。某些约束不仅对力学系统的空间位置限制，还对各质点的速度有限制,这种约束称为运动约束（或微分约束）(geometricalconstraint)。可表示为(5.1)0321321trrrrrrrrfnn,,,,,;,,,,可经过积分变为几何约束的则为完整约束，不能积分则为不完整约束。只受完整约束的体系称为完整系。只要受有不完整约束的体系，则称为不完整系。例考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型。假定将冰刀抽象为以刚性轻杆相连的两个质点，并设两质点质量相等，杆长为l，当冰刀在冰面上运动时，质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向。选两质点在冰面上的坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，则约束条件为后一个约束也可表为：这意味着它是对无限小变化的限制。（质心的速度沿杆的方向）（左边同除以dt）例：圆环在水平面上作纯滚动。需4个坐标。cRxyz如果：轨迹为直线，则为完整约束曲线，则为非完整约束直线：sincosccccvyvx21cRycRxccsincos运动约束几何约束积分微分Rvc理论力学主要研究受双面、定常、完整约束（几何约束）的非自由质系(完整系)。在给定的约束条件下用来确定力学系的位置的一组独立变量称为系统的广义坐标（Ｇeneralizedsystem）。系统的独立坐标的个数s叫作系统在有限运动中的自由度——单值地确定一个系统的位形所必需的独立量的数目。对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，但是广义坐标的选择不是唯一的。kns3个).(k个几何约束时：有n个质点，k个约束的系统的自由度：个（完整系）kns3（非完整系）个kn3非完整系中:自由度广义坐标数如前例:圆环在地面上作纯滚动，如果，则4个坐标相互独立，但xc、yc的微分)(t,sin,cosdRdydRdxcc并不独立。因此，广义坐标数为4，自由度为2。实例分析:,,AAqxy:q利用广义坐标描述质系运动N=2k=1n=s=3OxyrlABN=2k=3n=s=1OxyABl运动方程222RyxsincosRyRx例如,质点作圆周运动,约束方程运动方程广义坐标如果：);,,,();,,,();,,,(tqqqzztqqqyytqqqxxsiisiisii212121)321()(21nsnitqqqrrsii,,,,;,,,　　　则：sqqq,,,21称为拉格朗日广义坐标。拉格朗日广义坐标讨论①qi可以是长度、面积、体积、分子内能、熵、热量、电流、电压和电极化强度等广延量；②qi可视问题特点选取，不是唯一的(球，柱,极坐标);③qi是标量，不一定是位矢分量，不一定有公共原点,仅是描述体系作为整体的位置（状态）;④广义速度为，广义加速度为。iqiq约束与力•牛顿力学观点–力是改变运动的唯一原因。–约束都可以用力代替，这个力称为约束（反）力。•分析力学观点–约束和力都是改变运动的原因。–在力的作用下，物体在约束限制的范围内运动。约束（反）力约束条件限制物体的运动行为分析力学课题牛顿力学解决真实位移—实际发生的位移，用dr表示，它同时满足动力学方程、初始条件和约束条件。虚位移—稳定约束情况下的可能位移，非稳定情况下假想约束“冻结”时的可能位移，用r表示。§5.2虚功原理虚位移和实位移的区别：实位移要满足运动方程,而虚位移只需要满足约束。虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移，与时间t的变化无关(t0)。实例分析rrPrPrrrrdrrP虚位移与实位移比较虚位移实位移共同点为约束所允许为约束所允许不同点1）与主动力、作用时间、初始条件无关；2）是可能位移，可有多个或无穷多个；3）无限微量。与左边三个因素有关，唯一的，方向确定的有限量表示方法用变分符号表示。如等用微分符号表示。如等相互关系在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一个。),,,(zyxrddzdydxrd),,,(虚功原理是力学变分原理的微分形式哈密顿原理是力学变分原理的积分形式2BBAABBAABBAABBABA一些变分运算法则（P321）qddq变分和微分可以对易可以对易和假设dtdt,0等时变分(,)0ijfrtdd0Niijjjffrtrt0Nijjjfrr等时变分运算与微分运算类似，但t=0。将向径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方程进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系。2220xylxylA刚性杆220xxyy等时变分作用在质点上的力(包括约束反力)F在任意虚位移中做的功,叫虚功。若约束反力在任意虚位移中所做虚功为0,01iniirR这样的约束叫理想约束。例：理想约束(idealconstraint)如果任用在一体系上的所有约束反力Ri在任意虚位移δr中所作的虚功之和为零，即01niirR理解:关键是虚位移与约束力始终正交。理想约束①如光滑的面、线，铰链上的约束力，刚性杆，不可伸长的绳,刚体纯滚动时的静摩擦力,刚体的内力.②摩擦力、空气阻力不是理想约束，可看成是未知的主动力。理想约束无滑动的滚动NFC0Crδ0CNr不可伸长的绳子连接的质点ABArBrNN0ABNr+NrNrδ0Nr光滑曲面约束NPr例质点沿固定的光滑曲面运动，约束方程为质点的虚位移应满足即虚位移垂直于曲面的法向。由于约束面是光滑的，约束力沿曲面的法向，即因此虚功为理想约束光滑面，光滑曲线，光滑铰链刚性杆，不可伸长的绳，柔索约束、支承面约束、平面圆柱铰约束(平面固定铰支座和平面滑动铰支座)、平面滑移铰约束、齿轮副和齿轮-齿条约束、球铰约束、固定端约束、二力杆约束，则有：，约束力合力为上主动力的合力为质点状态的力学体系中任一个几何约束并处于平衡设受iiiRFPk011niiiniiirRrF01niiirF),2,1(0niRFii),2,1(0nirRrFiiii0虚功原理（只讨论不可解约束）虚功原理（理想约束下力学体系平衡条件）10NiiiFr具有理想约束的质点系，在给定位置处于平衡的充分必要条件是：主动力系在质点系的任意虚位移上所作的虚功等于零。这个关系是1717年伯努利首先发现的，叫做虚功原理或者虚位移原理。1δδδ0NxiiyiiziiiFxFyFz（）上式也称为静力学普遍方程。虚功原理（虚位移原理）是达朗贝尔－拉格朗日原理的特殊情况。例1设固定光滑斜面上放有一个重物，其重量为P，有一个沿斜面向上的力F拉着重物。求重物平衡时F=?。FP虚位移沿着斜面向上或向下，不妨取向下为正。拉力和重力所做的虚功为：r0rPrFAFPr(sin)0FPrsinFP解：虚位移原理建立了主动力的平衡条件，方程中不出现任何约束反力。虚位移原理可用来解决非自由质系的平衡问题：系统在给定位置平衡时主动力之间的关系求系统在已知主动力作用下的平衡位置求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力讨论解题步骤1.确定研究对象：整体2.约束分析：是否理想约束？3.受力分析：求主动力之间的关系或平衡位置：只画主动力求约束反力：解除约束，约束反力作为主动力4.给出虚位移，找出它们之间的关系几