大学物理竞赛辅导

力学部分主要公式：（1).牛顿第二定律FdtPd（2).角动量定理MdtLd对于质点,角动量PrL对于刚体,角动量JL(3).保守力与势能关系pEF(4).三种势能重力势能mgzEp弹性势能221kxEp万有引力势能rMmGEp(5).保守力的特点0LrdF作功与路径无关(6).振动的微分方程022Cqdtqd圆频率:C(7).阻尼振动l.水平轻绳跨过固定在质量为m1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为m2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角始终不变，试求.21,,aa1a.2a1a1m2m1a.2a1a1m2m解：画隔离体图，受力分析1a1mTT1a.2a2mT1a1mTT1a.2a2mT列方程：11cosamTT)cos(cos212aamTsinsin222amTgm沿绳的方向加速度应该相等：21aa解得：cot21gaa4221arccos212121mmmmmm例2.质量为M、半径为R的光滑半球，其底面放在光滑水平面上。有一质量为m的小滑块沿此半球面滑下。已知小滑块初始位置与球心联线与竖直线成角。系统开始时静止。求小滑块滑离半球面前绕球心的角速度。解：设半球面到图示虚线位置时，小滑块与竖直线夹角为以地为参照系.小滑块对地的速度为半球面对地的速度为V小滑块滑离半球面前绕球心的角速度为V小球速度：cosRVxsinRy水平方向动量守恒Vcoscos2121222mgRmgRMVmyx系统机械能守恒：0MVmx解得：mm/cosmcoscosRg212例3：长为l质量为M的均质重梯上端A靠在光滑的竖直墙面上，下端B落在水平地面上，梯子与地面夹角为060一质量也为M的人从B端缓慢爬梯，到达梯子中点时梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动，求梯子与地面之间的摩擦系数BA解：系统力平衡力矩平衡Mg21N2Nf21NNfMgN2200160cos2260sinlMglN求得：321060例4：在水平地面上的一个桶内成有水，桶的侧面有个小孔，孔与水面相距为h水从小孔流出，求水从小孔流出时的速度。解：在孔处取单位体积的小体元体元左侧面积为单位面积，受力等于该处的压强0pghfllf此体元运动单位距离就可以流出按照牛顿第二定律：ghfa速度：ghasv22)1(s0pfr右侧面积为单位面积，受力0pfr此体元经受力ghf例5.质量为m长为l的匀质棒可绕固定的支点在竖直平面内运动.若棒在与水平线成030角位置从静止开始下落,试计算当棒落到水平位置时,作用于支点的力.解:由转动定理cos2lmgdtdJ这里231mlJ得到角加速度cos23lgdtd表达式可写成cos23lgdtddddtdcos23lgdddlgdcos230mgdlgdcos23两边积分得到)sin(sin302lg轴反力的两个分量xR和yR,列出质心运动方程:法线方向sincossin22yxRRmglm切线方向cossincos2yxRRmgdtdlm或写成sincossin)sin(sin230yxRRmgmgcossincoscos43yxRRmgmgdlgdcos23000yRxRmg当0时,得到sincossin)sin(sin230yxRRmgmgcossincoscos43yxRRmgmg43mgRx4mgRy0yRxR例6.一长为l的细麦杆可绕通过中心o的水平转轴在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置一质量与麦杆相同的甲虫以速度0v垂直落到麦杆的41长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。问为使麦杆以均匀的角速度旋转，甲虫沿麦杆爬行的速度多大？o0v解：以麦杆和甲虫为系统碰撞过程角动量守恒，设碰后系统的角速度为于是有：220411214lmmlmvl解得：lv7120碰后，当甲虫距轴心为x时系统的转动惯量为o0vx22121mxmlJ作用在系统上的重力矩为：cosmgxM据转动定理：MdtJd应有：)cos(tmgxdtdJdtdJ即：)cos(2tmgxdtdxmx于是甲虫的速度为：)cos(2tgv例7.光滑水平面上有一半径为R的固定圆环,长为l2的匀质细杆AB开始时绕着C点旋转,C点靠在环上,且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着圆环外侧运动,直至细杆的B端与环接触后彼此分离,已知细杆与圆环间的摩擦系数处处相同,试求的取值范围.RllABC解:设初始时细杆的旋转角速度为0,转过角后角速度为.由于摩擦力并不作功,故细杆和圆环构成的系统机械能守恒应有:2202121PCJJ这里2231)2(121mllmJC22)2(121mrlmJPRr解得:rrllrvrllC22022033细杆质心C将沿着圆的渐开线运动切向加速度为dtdddrdrdvdtdvaCCC切RllABCPrv2222043rlRl法向加速度为2raC法222023rlrlRllABCPrv列出细杆质心运动方程NfNmaC切fmaC法不打滑的条件:Nf即RlrrlaaNfCC222)3(切法由于lr0所以Rl4例8.两个均质圆盘转动惯量分别为1J和2J开始时第一个圆盘以10的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度101r2r解：受力分析：1r2r101Ngm1ffgm22N1o2o无竖直方向上的运动gmfN11gmfN22以O1点为参考点，计算系统的外力矩：))((2122rrgmNM0)(21rrf作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。只能用转动定律做此题。对于盘1：111frdtdJ阻力矩111JfrdtddtJfrd1111r2r101Ngm1ffgm22N1o2odtJfrd111两边积分tfdtJrd0111110tfdtJr011110对于盘2：222frdtdJ222JfrdtddtJfrd2221r2r101Ngm1ffgm22N1o2odtJfrd222两边积分tfdtJrd022022tfdtJr0222于是有：22211011)(rJrJ不打滑条件：2211rr接触点处两盘的线速度相等1r2r101Ngm1ffgm22N1o2o可解得：212221102211rJrJrJ212221102112rJrJrrJ例9:质量为2m,半径为R的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m和2m的物体,绳与滑轮之间的摩擦系数为,问为何值时绳与滑轮之间无相对滑动.解:受力分析:mg1Tmg22Tm2m2T1T列方程:mamgT1maTmg222:m:2m滑轮:122221RTRTmR不打滑的条件:Ramg2mg1T2T2T1TaamamgT1maTmg222122221RTRTmRRa由以上四式解得:mgT451mgT2322T1T2T1TdTTTdfddN绳中的张力分析任取线元Rddl此线元切向运动方程为：2d2d2cos)(2cosddTTdfdT此线元法向运动方程为：2sin)(2sinddTTdTdN2cos)(2cosddTTdfdT2sin)(2sinddTTdTdN利用近似：12cosd22sindd忽略二阶无穷小量，得到：dNdfdTdNTddN两式相除得到：dTdNTddN两式相除得到：TdTd解此方程得到：eTT1当2TT时，于是得到摩擦系数为：56ln1例10均匀圆柱体,从静止沿斜面下滑,圆柱与斜面间摩擦系数为µ,当摩擦系数为某一临界值时,圆柱体恰纯滚动地向下滚动,求此临界值.解:cossinmgmgmacRmgmRcos212质心运动方程θmgfcaN转动定理纯滚动条件:Rac解得:tan31例11.一个质量为m的卫星围绕着质量为M,半径为R的大星体作半径为2R的圆周运动.从远处飞来一个质量为2m,速度为RGMv的小流星.恰好沿着卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结成新的星体,作用时间非常短.假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计,新星的速度仍沿原来方向.（1）试用计算表明新星的轨道类型,算出轨道的偏心率.（2）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞给出新星体能否与大星体M碰撞的判断。（1）解:轨道类型与新星的机械能的正负有关.如果动能大于势能,新星可以摆脱地球的吸引,轨道成为非闭合的如果动能小于于势能,新星不能摆脱地球的吸引,轨道成为闭合的,即椭圆轨道.可以用新星的机械能的正负来判断轨道的类型.偏心率的定义为近远近远rrrrevvab为了计算碰后的机械能,首先要计算出碰后的速度.设碰后新星速度为v碰撞过程动量守恒.碰前卫星的运动方程为221)2(2RMmGRvm求得碰前卫星的运动速度:RGMv21碰撞过程动量守恒vmmvmmv2)2(1求得碰后新星的运动速度:RGMv23122此时的位置相当于在新星运动的近地点.我们计算新星近地点的机械能RmMGvmE2)3(3212说明新星作椭圆轨道运动.下面我们讨论一下新星的机械能与远地点距离关系新星运动角动量守恒vab远r远远vmrvmR3)3(2GMRrvrRv231222远远远得到带入远地点的机械能表达式0)3(36924RmGMvab远r远远rmMGvmE)3()3(212此能量应等于新星在近地点的机械能远远rmMGrGMRmE)3(92122)3(2122RmGM)3(36924解得经化简得到0362491912222RrrR远远RRr8.82491811228124912远偏心率63.0近远近远rrrre（2）解：反方向碰撞，设碰后新星体的速度为v碰前卫星的速度:RGMv21质量为m碰前流星的速度:RGMv2质量为2m碰撞过程动量守恒vmmvmmv2)2(1求得碰后新星的运动速度:RGMv23122此时的位置相当于在新星运动的远地点.我们计算新星远地点的机械能RmMGvmE2)3(3212说明新星作椭圆轨道运动.新星运动角动量守恒近近vmrvmR3)3(2GMRrvrRv231222近近近得到带入近地点的机械能表达式0)3(36924RmGMvv近近rmMGvmE)3()3(212此能量应等于新星在远地点的机械能近近rmMGrGMRmE)3(92122)3(2122RmGM)3(36924解得经化简得到0362491912222RrrR近近RRRr4.02491811228124912近肯定与大星体相碰。例12.半径为R的圆环绕铅垂的直径轴以的角速度旋转一细杆长为RL2,其两端约束在圆环上可作无摩擦的滑