大学物理第5章角动量守恒定律

5.1质点的角动量角动量定理1.质点的角动量Lrprmv称为质点相对参考点O的角动量或动量矩mLrpOsinsinrmvrpL第5章角动量角动量守恒定律例：求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量vmroRrA任意时刻t，有221tgrtgmvmp（1）对A点的角动量0321ggmtprLARrr（2）对O点的角动量prRprLO)(tgmRpRgRRmgtLOm2.质点的角动量定理角动量的时间变化率dtpdrpdtrdprdtddtLd)(vmvrF力矩定义：对O点力矩MrF质点的角动量定理dLMdtrF大小Fr质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率sinFrMFrrMOA3角动量守恒定律0外M则0dLdt或L常矢量若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，,则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。若dLMdt质点的角动量定理rmv例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？pmvrLOArsinrmvoLrmv例.试利用角动量守恒定律:1)证明关于行星运动的开普勒定律:任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变.(2)说明天体系统的旋转盘状结构.(1)行星对太阳O的角动量的大小为sintsmrLlimt0sinmvrprL其中是径矢r与行星的动量p或速度v之间的夹角.s表示t时间内行星所走过的弧长,则有2sinsrsrr表示从O到速度矢量v的垂直距离,则有OAvBrSr用[证明]dtdmtmLlim0Δt22时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积,如图中所示.其中是tdtdmtmLt22lim0d/dt称为掠面速度.由于万有引力是有心力,它对力心O的力矩总是等于零,所以角动量守恒,L=常量,行星作平面运动,而且常量mLdtd2这就证明了掠面速度不变,也就是开普勒第二定律.OA1vCDB2v1rS2r1r2r(2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构5.2质点系的角动量定理mimjm1iFjFjifijfOirjr质点系角动量1()niiiiLLrp第i个质点角动量的时间变化率()iiiijijdLrFfdt()iiiijiiijdLrFrfdtMM外内M外iiirFM内()iijiijrf0dLMdt外质点系的角动量定理0M外时质点系的角动量守恒iiLL常矢量例.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？hhm1m2解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的轴为参考点，把两个小孩看成一个系统。此系统的总角动量为)(21vvmRLv1左边孩子向上的速度；v2右边孩子向上的速度；此系统所受外力矩：只有两个小孩所受重力矩，彼此抵消。（内力矩不改变系统角动量。）因此整个系统角动量守恒。R设两个小孩起初都不动，即0,002010tLvv以后，虽然v1,v2不再为零，但总角动量继续为零，即v1,v2随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。若两个小孩重量不等，即21mm系统所受外力矩,)12gRmmM（外系统总角动量RvmvmL)(2211仍设起初两个小孩都不动，0,002010tLvv由角动量定理,)(12dtdLgRmmM外若0,0:21LdtdLmm有212211,0vvvmvm轻的升得快；)(21vvmRLhhm1m2R例.光滑水平桌面上放着一质量为M的木块,木块与一原长为L0,劲度系数为k的轻弹簧相连,弹簧另一端固定于O点.当木块静止于A处时,弹簧保持原长,设一质量为m的子弹以初速v0水平射向M并嵌在木块中.当木块运动到B(OBOA)时,弹簧的长度为L.Mm0LLAOB0vBv求木块在B点的速度vB的大小和方向.解:(1)m和M相撞时,系统的动量守恒AvMmmv)(0(2)AB,只有弹力作功,机械能守恒2021221221)()()(LLkvMmvMmBA(3)AB,弹力对O点的力矩为零,对O点角动量守恒sin)()(0LvMmLvMmBA2/1202022)()(MmLLkvMmmvB212020200)()(arcsinmMLLkvmLvmLk5.3刚体的定轴转动(1)平动:在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行ABA′B′B〞A〞刚体的平动任意质元运动都代表整体运动(2)定轴转动刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动1.刚体的平动和定轴转动用质心运动代表刚体的平动（质心运动定理）2用角量描述转动1)角位移θ:在t时间内刚体转动角度2)角速度:0limtdtdt3)角加速度:220limtddtdtdtθz刚体定轴转动角速度的方向按右手螺旋法则确定vra切向分量tdvdarrdtdt法向分量22nvarrzvOP线量与角量关系rdSrdddS匀变速直线运动ddtddtdSvdtdvadt0vvat2012Svtat2202vvaS匀变速定轴转动0t2012tt22025.4定轴转动刚体的角动量定理角动量守恒dLMdt外质点系的角动量定理Z轴分量zdLMdtz:im质元iF对O点的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直z轴）?oiiiiizirFrFrFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr（垂直z轴）izMMzsiniiirF?zizLLiirFsiniziiiMrF1.刚体对转轴的力矩和角动量ioiiiLrmvoiirviioiiLmrvsiniziLLiLizLsinioiimrviziiiLmrvsinioirrim质元到转轴的垂直距离iivr2()iimr刚体到转轴的转动惯量2ziiiJmr2()ziiiLmrzdLMdtz?zzdLdMJdtdtz对固定轴MJirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrzJ2.刚体对定轴的角动量守恒角动量定理1质点由微分式MdtdL积分式221121tLtLMdtdLLL2质点系由dtLdM外微分式MdtdL外积分式221121tLtLMdtdLLL外3定轴转动刚体zdJdLdMJdtdtdtz(轴)积分221121ttMdtJdJJ轴这里iiLL定轴转动刚体角动量守恒0M轴合外当时21JJ恒量dLMdt若转动惯量有变化，则有：2211JJ恒量1.刚体定轴转动定律MJ轴外与牛顿第二定律对比amF外刚体到转轴的转动惯量2iiiJmr转动惯量的物理意义:(1).刚体转动惯性大小的量度(2).转动惯量与刚体的质量有关(3).J在质量一定的情况下与质量的分布有关(4).J与转轴的位置有关对比刚体的角动量和质点的动量LJmvp与对应mJ5.5定轴转动刚体的转动定律转动中的功和能2.转动惯量的计算2iiiJmr称为刚体对转轴的转动惯量对质量连续分布刚体dmrJ2线分布dxdm面分布dsdm体分布dvdm是质量的线密度是质量的面密度是质量的体密度例:一均匀细棒长l质量为m1)轴z1过棒的中心且垂直于棒2)轴z2过棒一端且垂直于棒求:上述两种情况下的转动惯量OdxxZ1dxdm解:设棒质量的线密度λ2222121)11mldxxJllZ20231)22mldxxJlz12zzJJ所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义2l2lxdxdmdxOZ2l有关转动惯量计算的几个定理1）平行轴定理2mhJJczh式中:关于通过质心轴的转动惯量cJm是刚体质量,h是c到z的距离zJ是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量zC2）转动惯量叠加，如图CBAzJJJJ式中:是A球对z轴的转动惯量AJBJ是B棒对z轴的转动惯量cJ是C球对z轴的转动惯量3）回转半径任意刚体的回转半径mJRG式中:J是刚体关于某一轴的转动惯量,m是刚体的质量)(2GRmJACzBo2zGR2l2312mlJZmJRZG2例:73.1312lmmlG不是质心CG转动惯量的计算例:求半径为R,总质量为m的均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量如下图:解:2RmdmrJz2dsrR02Rrdrr022RrdrRmr0222221mRRrdsZ质量面密度刚体定轴转动定律的应用Rm1m2am1gm2gT解：11mgTma22Tmgma1212()mgmgmma1212mmagmm对否？T1T2T12TT否则滑轮匀速转动，而物体加速运动T1T2111mgTma222Tmgma12TRTRJaR转动定律线量与角量关系212JMR121212mmagmmMM例1：质量为M，半径为R的均匀圆盘形定滑轮上绕一轻绳，绳的两端分别悬挂质量为m1和m2的物体，m1m2，滑轮与轴间无摩擦，绳与滑轮间无相对滑动。求物体的加速度a。l例2.已知：匀质杆m，长一端O固定，当由水平位置自由下落到θ时求：??F?F解：mgC1cos2Mmgl质心运动定理MJ21cos213mglml3cos2glddtddddtdd3cos2gl003cos2gddl3singl转动定律1F2F1sinnFmgma2costmgFma212nal3sin2g2tla3cos4gθlmOl15sin2Fmg21s4Fmgco2212FFF2199sin14mg21cos10sinFtgF质心运动定理1sinnFmgma2costmgFma212nal3sin2g2tla3cos4gβmgC1F2FθlmOlF例3:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为。令圆盘以0绕中心轴旋转后，问经过多少时间才停止转动？2Rmrrmd2dmgrMzddmgR32解:RzrgrM02d2043gRtRg340?摩擦力的和?MJvOlMm0v?例4.已知：匀质杆M，长一端悬挂于固定点O，子弹m，水平速度,射入不复出l0v求：?解：对M，m系统0M轴外系统角动量守恒2013MmvlmvlJmvlMlvl033vmmMl射入后瞬间cos||FdrcosFrdOθdθrFvP||drcosMFr21dJddt21Jd22211122JJ刚体的转动动能212kEJ定轴转动动能定理dAFdrdAMd21kkAEE力矩作功212KiiiEmv21()2iiimr221()2iiimr212J21AMd