2019年全国中考数学真题分类汇编39：直角三角形、勾股定理

直角三角形、勾股定理一、选择题1．(2019·广元)如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是________【答案】843+【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝22,∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x＝31-,DM＝MB＝31+,∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝843+.2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为()A.524B.532C.173412D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM＝x，则CM＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，解得：x＝4，∴DM＝6，∵∠D＝90°，由勾股定理得：BM＝222243BDDM＝5，过点B作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°，∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD，∴BHBDABBM，即385BH，解得BH＝524，即水面高度为524．3．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC、BC，则△ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如图所示，∵AM=MN=2，NB＝1，∴AB=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，∴25522AB，16422AC，9322BC,∴222ABBCAC，∴△ABC是直角三角形.4．(2019·广元)如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE＝15°,连接BE并延长BE到F,使CF＝CB,BF与CD相交于点H,若AB＝1,有下列结论:①BE＝DE;②CE+DE＝EF;③S△DEC＝13412-,④231DHHC=-.则其中正确的结论有()A.①②③B.①②③④C.①②④D.①③④【答案】A【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC≌△DEC,∴BE＝DE,①正确;②在EF上取一点G,使CG＝CE,∵∠CEG＝∠CBE+∠BCE＝60°,∴△CEG为等边三角形,易得△DEC≌△FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF,②正确;③过点D作DM⊥AC于点M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝13412-,③正确;④tan∠HBC＝2－3,∴HC＝2－3,DH＝1－HC＝3－1,∴3+1DHHC=,④错误.故选A.5.(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影＝c2－a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可知,c2＝a2－b2,∴S阴影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠,即S阴影＝S重叠,故选C.6.（2019·重庆B卷）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为()A.8B.C.D.【答案】D【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AD=BD.∵BE⊥AC，AD⊥BD，∴∠DAC=∠DBH，∴△DBH≌△DAC（ASA）.∵DG⊥DE，∴∠BDG=∠ADE，∴△DBG≌△DAE（ASA），∴BG=AE，DG=DE，∴△DGE是等腰直角三角形，42224+322+12题图FCBADEG∴∠DEC=45°.在Rt△ABE中，BE=，∴GE=，∴DE=.∵D，F关于AE对称，∴∠FEC=∠DEC=45°，∴EF=DE=DG=，DF=GE=，∴四边形DFEG的周长为2（+2-）=.故选D．二、填空题7．（2019·苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm（结果保留根号）.（图①）（图②）223122-=221-222-222-221-221-2232+2（第15题）【答案】522【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为12×10=5cm，设正方形阴影部分的边长为xcm，则5x=sin45°=22，解得x=522，故答案为522.第15题答图8．（2019·威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,则∠ADC＝°【答案】105°【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB垂足为F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF＝AB，由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ABD＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°.9．（2019·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，则图中阴影部分的面积为cm：（结果保留根号）．（第18题）【答案】10+122第18题答图解析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，所以△ABC与△DEF有公共内心O，连接AD、BE、FC并延长相交于点O，过O作OG⊥AB于G，交DE于H.则GH=2，S△ABC=12OG×（AB+AC+BC）=12AB×AC，∴OG=888428882ABACABACBC，∴OH=852，∵∵DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴OHDEOGAB∴8-5288-42DE，解得DE=6-22，S阴影=S△ABC-S△DEF=221186221012222.10．（2019·江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为.【答案】（42322216，0）或（42322216，0）【解析】设点P的坐标为（x，0），（1）当点D在线段AB上时，如图所示：∵DA=1，∴点D的坐标为（224，22）.∴222)224()]224(4[CD22)22(2416)22(2417，222)22()]224([xPD222)22()224()224(2xx2417)28(2xx，2224)4(xPC3282xx.∵CP⊥DP于点P，∴222CDPDPC，∴2417)28(2xx3282xx2417，即032)216(22xx，∵△=3224)]216([2=2322＜0，∴原方程无解，即符合要求的点P不存在.（2）当点D在线段BA的延长线上，如图所示：∵DA=1，∴点D的坐标为（224，22）.∴222)]22(4[)]224(4[CD22)224()22(2417，222)22()]224([xPD222)22()224()224(2xx2417)28(2xx，2224)4(xPC3282xx.∵CP⊥DP于点P，∴222CDPDPC，∴2417)28(2xx3282xx2417，即032)216(22xx，∵△=3224)]216([2=2322＞0，∴222322216x42322216，∴点P的坐标为（42322216，0）或（42322216，0）.11.(2019·枣庄)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________.【答案】6－2【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝22,过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝MC＝12BC＝2,在Rt△AMD中,AD＝BC＝22,AM＝2,∴MD＝6,∴CD＝MD－MC＝6－2.12.(2019·巴中)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________.【答案】163+24【解析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S△BPP'＝163,因为PP'＝8,P'C＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△ABP+S△BPC＝S△BPP'+S△PP'C＝163+24..三、解答题13.(2019·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.（1）求证:EC＝BD;（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB＝90°,AC＝BC,∴∠ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,∵BD⊥CD,∴∠AEC＝∠CDB＝90°,∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC＝BD.（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,，∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,∴S梯形＝12(AE+BD)ED＝12(a+b)(a+b),S梯形＝12ab+12c2+12ab，∴12(a+b)(a+b)＝12ab+12c2+12ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.