2018高考数学数列压轴专项练习集(一)

Word格式完美整理2018年高考数学数列压轴专项练习集（一）1.已知等差数列na和等比数列nb，其中na的公差不为0．设nS是数列na的前n项和．若521,,aaa是数列nb的前3项，且4S=16．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若数列taSnn14为等差数列，求实数t；（3）构造数列,...,,...,,,,...,,,,,,,,,21321321211kkbbbabbbabbaba若该数列前n项和1821nT，求n的值．2.已知数列na满足1,121aa，且)(2)1(2*2Nnaannn．（1）求65aa的值；（2）设nS为数列na的前n项的和，求nS；（3）设nnnaab212，是否存正整数i，j，k（i＜j＜k），使得bi，bj，bk成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由．3.(本题满分12分)设数列{}na的前n项和为nS,已知121aa,(2)nnnbnSna,数列{}nb是公差为d的等差数列,*nN.(1)求d的值;(2)求数列{}na的通项公式;(3)求证:2112122()()(1)(2)nnnaaaSSSnn.4.设数列na的首项1()aaaR，且13,34,3nnnnnaaaaa≤时，1m，2，3，．(1)若01a，求2a，3a，4a，5a．(2)若04na，证明：104na．(3)若02a≤，求所有的正整数k，使得对于任意*nN，均有nknaa成立．Word格式完美整理5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，a1+a2+a3+…+an+n=an+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，b1=1，点（Tn+1，Tn）在直线上，若不等式nnnamababab2291112211对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．6.设不等式组)(04*Nxnxyyx所表示的平面区域为Dn，记Dn内整点的个数为an（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）记数列{an}的前n项的和为Sn，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．7.在数列na中，123a，*121,nnnSannNS．（Ⅰ）求123,,SSS的值；（Ⅱ）猜想nS的表达式，并证明你的猜想．8.设数列na是各项均为正数的等比数列，其前n项和为nS，若1564aa，5348SS.（1）求数列na的通项公式；Word格式完美整理（2）对于正整数,,kml（kml），求证：“1mk且3lk”是“5,,kmlaaa这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列nb满足：对任意的正整数n，都有121321nnnnabababab13246nn，且集合*|,nnbMnnNa中有且仅有3个元素，试求的取值范围.9.已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．10.设数列{an}的前n项和为Sn，若（n∈N*），则称{an}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{an}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{an}是否为“紧密数列”；（3）设数列{an}是公比为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．Word格式完美整理试卷答案1.【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设{an}的公差d≠0．由a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4=16．可得，即，4a1+=16，解得a1，d，即可得出．（2）Sn==n2．可得=．根据数列{}为等差数列，可得=+，t2﹣2t=0．解得t．（3）由（1）可得：Sn=n2，数列{bn}的前n项和An==．数列{An}的前n项和Un=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，可得：该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），根据37=2187，38=6561．进而得出．【解答】解：（1）设{an}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4=16．∴，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴b1=1，b2=3，公比q=3．∴bn=3n﹣1．（2）Sn==n2．∴=．∵数列{}为等差数列，∴=+，t2﹣2t=0．解得t=2或0，经过验证满足题意．（3）由（1）可得：Sn=n2，数列{bn}的前n项和An==．数列{An}的前n项Word格式完美整理和Un=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，∴该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），∵37=2187，38=6561．∴取k=8，可得前=36项的和为：=1700，令Tn=1821=1700+，解得m=5．∴n=36+5=41．2.【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．结合a1=﹣1，a2=1，进一步求得，则a5+a6可求；（2）①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k），代入等比数列前n项和公式求解；②当n=2k﹣1时，由Sn=S2k﹣a2k求解；（3）由（1）得（仅b1=0且{bn}递增）．结合k＞j，且k，j∈Z，可得k≥j+1．然后分k≥j+2与k=j+1两类分析可得满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．【解答】解：（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．又a1=﹣1，a2=1，∴，即a5+a6=2；（2）①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）===．②当n=2k﹣1时，Sn=S2k﹣a2k=Word格式完美整理==．∴；（3）由（1），得（仅b1=0且{bn}递增）．∵k＞j，且k，j∈Z，∴k≥j+1．①当k≥j+2时，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差数列，则=，此与bn≥0矛盾．故此时不存在这样的等差数列．②当k=j+1时，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差数列，则=，又∵i＜j，且i，j∈Z，∴i≤j﹣1．若i≤j﹣2，则bi≤bj﹣2，得，得≤0，矛盾，∴i=j﹣1．从而2bj=bj﹣1+bj+1，得，化简，得3j﹣2=1，解得j=2．从而，满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．3.121111222122120.1(2)(12)442(22)2684nnnaabnSnabSaabSaaadbb解：，Word格式完美整理121111222122120.1(2)(12)442(22)2684nnnaabnSnabSaabSaaadbb解：，…………………………………………………………3分………………………………………………8分………………………………………………12分4.见解析解：Ⅰ∵1(0,1)aa得2(3,4)a，∴2144aaa，Word格式完美整理∵3(0,1)a，∴3231aaa，4(3,4)a，∴4343aaa，5(0,1)a，∴543aaa．Ⅱ证明：①当03na≤时，14nnaa，∴114na≤，②当34na，13nnaa，∴101na，综上，04na时，104na．ⅡⅠ解：①若01a，由Ⅰ知51aa，所以4k，∴当4(*)kmmN时，对所有的*nN，nknaa成立．②若12a≤，则24aa，且2(2,3]a，3214(4)4aaaaa，∴2k，∴当2(*)kmmN时，对所有的*nN，nknaa成立，③若2a，则2342aaa，∴1k，∴(*)kmmN时，对所有的*nN，nknaa成立，综上，若01a，则4km，*mN，若12a≤，则2km，*mN，若2a，则km，*mN．5.【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）利用递推式可得：an+1=2an+1，变形利用等比数列的定义即可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由点（Tn+1，Tn）在直线上，可得，利用等差数列的通项公式可得：，利用递推式可得bn=n．利用不等式，可得Rn=，利用“错位相减法”可得：．对n分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由a1+a2+a3+…+an+n=an+1，得a1+a2+a3+…+an﹣1+n﹣1=an（n≥2），Word格式完美整理两式相减得an+1=2an+1，变形为an+1+1=2（an+1）（n≥2），∵a1=0，∴a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），∴{a1+1}是以1为首项，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∵点（Tn+1，Tn）在直线上，∴，故是以为首项，为公差的等差数列，则，∴，当n≥2时，，∵b1=1满足该式，∴bn=n．∴不等式，即为，令，则，两式相减得，∴．由恒成立，即恒成立，又，Word格式完美整理故当n≤3时，单调递减；当n=3时，；当n≥4时，单调递增；当n=4时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是．6.【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{an}的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论．【解答】解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有an==10n+5．（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．Word格式完美整理7.（Ⅰ）11112,2,(2)2nnninnnnnnnaSSSSSSnSS当时，(3分)11231221314,,32425SaSSSS（6分）（Ⅱ）猜想12nnSn，（7分）下面用数学归纳法证明：1)当n=1时，1211312，S猜想正确；（8分）2）假设当n=k时猜想正确，即1,2kkSk那么111(1)1,12(1)222kkkSkSkk即n=k+1时猜想也正确.（12分）根据1），2）可知，对任意nN+Î，都有1.2nnSn（13分）略8.（1）数列na是各项均为正数的等比数列，215364aaa，38a，又5348SS，2458848aaqq，2q，3822nnna；…………4分（2）（ⅰ）必要性：设5,,kmlaaa这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25kmlaaa，则10222kml，1022mklk，11522mklk，1121,24mklk