历年江苏数学高考试题及答案2004-2015

12015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合123A，，，245B，，，则集合AB中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z满足234zi（i是虚数单位），则z的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量21a，，2a1，，若98manbmnR，，则m-n的值为______.7.不等式224xx的解集为________.8.已知tan2，1tan7，则tan的值为_______.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为。10.在平面直角坐标系xOy中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012Rmmymx相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。11.数列}{na满足11a，且11naann（*Nn），则数列}1{na的前10项和为。12.在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线122yx右支上的一个动点。若点P到直线01yx的距离对c恒成立，则是实数c的最大值为。13.已知函数|ln|)(xxf，1,2|4|10,0)(2xxxxg，则方程1|)()(|xgxf实根的个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos6sin,6(coskkkkak，则1201)(kkkaa的值为。15.在ABCV中，已知2,3,60.ABACAo2(1)求BC的长；（2）求sin2C的值。16.如图，在直三棱柱111ABCABC中，已知1,ACBCBCCC.设1AB的中点为D，11.BCBCE求证：（1）11//DEAACC平面(2)11BCAB17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12ll，，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到12ll，的距离分别为5千米和40千米，点N到12ll，的距离分别为20千米和2.5千米，以12ll，所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数2ayxb（其中a，b为常数）模型.（I）求a，b的值；（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210xyabab的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.19.已知函数),()(23Rbabaxxxf。3（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若acb（实数c是a与无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(，求c的值。20.设1234,,,aaaa是各项为正数且公差为d(0)d的等差数列（1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列（2）是否存在1,ad，使得2341234,,,aaaa依次成等比数列，并说明理由（3）是否存在1,ad及正整数,nk，使得351234,,,nnknknkaaaa依次成等比数列，说明理由附加题21、（选择题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A、选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在ABC中，ACAB，ABC的外接圆圆O的弦AE交BC于点D求证：ABDAEBB、选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知Ryx,，向量11是矩阵01yxA的属性特征值2的一个特征向量，矩阵A以及它的另一个特征值。C.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为222sin()404，求圆C的半径.D．[选修4-5：不等式选讲]4解不等式|23|3xx22.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，2ABCBAD,2,1PAADABBC(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()nXYnnN，设{(,)|,,}nnSabaaaXbY整除b或除，令()fn表示集合nS所含元素个数.（1）写出(6)f的值；（2）当6n时，写出()fn的表达式，并用数学归纳法证明。5678910112014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合A={4,3,1,2}，}3,2,1{B，则BA▲.2.已知复数2)i25(z(i为虚数单位),则z的实部为▲.3.右图是一个算法流程图,则输出的n的值是▲.4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5.已知函数xycos与)2sin(xy(0≤),它们的图象有一个横坐标为3的交点,则的值是▲.6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7.在各项均为正数的等比数列}{na中,,12a4682aaa,则6a的值是▲.8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S，2S，体积分别为1V，2V，若它们的侧面积相等，且4921SS，则21VV的值是▲.9.在平面直角坐标系xOy中,直线032yx被圆4)1()2(22yx截得的弦长为▲.开始0n1nn202n输出n结束（第3题）NY组距频率10080901101201300.0100.0150.0200.0250.030底部周长/cm（第6题）1210.已知函数,1)(2mxxxf若对于任意]1,[mmx,都有0)(xf成立,则实数m的取值范围是▲.11.在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy2(a，b为常数)过点)5,2(P，且该曲线在点P处的切线与直线0327yx平行，则ba的值是▲.12.如图，在平行四边形ABCD中，已知8AB，5AD，PDCP3，2BPAP，则ADAB的值是▲.13.已知)(xf是定义在R上且周期为3的函数,当)3,0[x时,|212|)(2xxxf.若函数axfy)(在区间]4,3[上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是▲.14.若△ABC的内角满足CBAsin2sin2sin,则Ccos的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知),2(,55sin.(1)求)4sin(的值；(2)求)265cos(的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABCP中，D，E，F分别为棱ABACPC,,的中点.已知ACPA,,6PA.5,8DFBC求证:(1)直线//PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,21,FF分别是椭圆ABDCP（第12题）（第16题）PDCEFBAF1F2OxyBCA(第17题)13)0(12322babyax的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b，连结2BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结CF1.(1)若点C的坐标为)31,34(,且22BF,求椭圆的方程；(2)若,1ABCF求椭圆离心率e的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),34tanBCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数xxxfee)(,其中e是自然对数的底数.(1)证明:)(xf是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式)(xmf≤1emx在),0(上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在),1[0x，使得)3()(0300xxaxf成立.试比较1ea与1ea的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{na的前n项和为nS.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得mnaS，则称}{na是“H数列”.(1)若数列}{na的前n项和nnS2(nN),证明:}{na是“H数列”;(2)设}{na是等差数列,其首项11a,公差0d.若}{na是“H数列”,求d的值；(3)证明：对任意的等差数列}{na，总存在两个“H数列”}{nb和}{nc，使得nnncba(nN)成立.170m60m东北OABMC（第18题）14参考答案15.（1）∵α∈（，π），=∴=∴=+=（2）=12=，=2==+=+（）=16.（1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点∴DE∥PA又∵DE平面PAC，PA平面PAC∴直线PA∥平面DEF（2）∵E,F分别为棱AC,AB的中点，且BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF²=EF²+DE²=25，∴DE⊥EF，又∵DE∥PA，∴PA⊥EF，又∵PA⊥AC，又∵ACEF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC17.（1）∵BF2=，将点C（，）代入椭圆22221(0)xyabab，∴221611(0)99abab，且c²+b²=a²∴a=，b=1,∴椭圆方程为2212xy（2）直线BA方程为y=x+b,与椭圆22221(0)xyabab联立得x²x=0.∴点A（，），∴点C（，），F1（）15直线CF1斜率k=，又∵F1C⊥AB，∴·=∴=1，∴e=18.（1）过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AD⊥BE于点F。∵tan∠BCO=，设BC=5x，CE=3x，BE=4x，∴OE=，AF=170，，EF=AO=60，BF=4x60又∵AB⊥BC，且∠BAF+∠ABF=90°，∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠BAF=90°，∴tan∠BAF===，∴x=30，BC=5x=150m∴新桥BC的长为150m。（2）以OC方向为x轴，OA为y轴建立直角坐标系。设点M（0，m），点A（0,60），B（80,120），C（170,0）直线BC方程为y=（x），即4x+3y∴半径R=，又因为古桥两