《3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式》--教案

1/29同角三角函数的基本关系与诱导公式适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点同角三角函数的基本关系；利用同角关系进行化简和求值诱导公式二（π＋α）；诱导公式三（－α）；诱导公式四（π－α）；诱导公式五（π2－α）诱导公式六（π2＋α）；诱导公式二的综合应用教学目标1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.教学重点1．利用诱导公式求某角的三角函数值或求某三角函数式的值．2．借助诱导公式对三角函数式进行化简或证明．教学难点灵活应用诱导公式2/29教学过程一、课堂导入哲学中有个命题：任何事物之间都存在着某种联系，联系是普遍存在的．比如蝴蝶效应，在南美洲亚马孙河流域的热带雨林中，一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风．这从一个侧面说明事物的普遍联系性．既然这样，作为三角函数的正弦、余弦、正切函数也具有联系吗？它们具有怎样的关系？这些关系又有哪些应用呢？3/29二、复习预习1.弧度制角度制的关系2.任意角的三角函数的求法、三角函数符号、三角函数线4/29三、知识讲解考点1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.5/29考点2诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．6/29考点3三角形中的诱导公式在三角形ABC中常用到以下结论：sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，sinA2＋B2＝sinπ2－C2＝cosC2，cosA2＋B2＝cosπ2－C2＝sinC2.7/29四、例题精析【例题1】【题干】已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.8/29【解析】∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β.②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β.③由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4.又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝38，∴cosα＝±64.9/29【例题2】【题干】(1)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin－α－3π2cos3π2－αtan2π－αcosπ2－αsinπ2＋α＝()A.916B．－916C．－34D.34(2)设f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋αsinα≠－12，则f－23π6＝________.10/29【解析】(1)选B∵方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－35，由题知sinα＝－35，∴cosα＝－45，tanα＝34.∴原式＝cosα－sinαtan2αsinαcosα＝－tan2α＝－916.(2)∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.答案：311/29【例题3】【题干】在△ABC中，sinA＋cosA＝2，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．12/29【解析】∵sinA＋cosA＝2，∴1＋2sinAcosA＝2，∴sin2A＝1.∵A为△ABC的内角，∴2A＝π2，∴A＝π4.∵3cosA＝－2cos(π－B)，∴3cosπ4＝2cosB，∴cosB＝32.∵0＜B＜π，∴B＝π6.∵A＋B＋C＝π，∴C＝7π12.∴A＝π4，B＝π6，C＝7π12.13/29五、课堂运用【基础】1．α是第一象限角，tanα＝34，则sinα＝()A.45B.35C．－45D．－3514/29解析：选Btanα＝sinαcosα＝34，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sinα＝35.15/292．(2013·安徽名校模拟)已知tanx＝2，则sin2x＋1＝()A．0B.95C.43D.5316/29解析：选Bsin2x＋1＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.17/293．(2013·西安模拟)已知2tanα·sinα＝3，－π2＜α＜0，则sinα＝()A.32B．－32C.12D．－1218/29解析：选B由2tanα·sinα＝3得，2sin2αcosα＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cosα＝12(cosα＝－2舍去)，故sinα＝－32.19/29【巩固】4．化简sinπ2＋α·cosπ2－α＋α＋－απ2＋α＋α＝________.20/29解析：原式＝cosα·sinα－cosα＋sinα－sinα－sinα＝－sinα＋sinα＝0.答案：021/295．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2＜α＜π.则sinα－cosα＝________.22/29解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23，①将①两边平方得1＋2sinα·cosα＝29，故2sinαcosα＝－79.∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－－79＝169.又∵π2＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＝43.答案：4323/29【拔高】6．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝()A.12B．2C．－12D．－224/29解析：选B∵cosα＋2sinα＝－5，结合sin2α＋cos2α＝1得(5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－255，cosα＝－55，∴tanα＝2.25/297．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050)°＋tan945°.26/29解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2.27/298．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．28/29解：(1)原式＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝3＋12，故sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ＝3＋12.(2)由sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，得m＝32.(3)由sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθ·cosθ＝34知sinθ＝32，cosθ＝12，或sinθ＝12，cosθ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.29/29课程小结应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．