异面直线所成的角(教师版)

广东北江中学高二数学补充讲义：立体几何第1页，共4页异面直线所成的角（教师版）求两条异面直线所成角的步骤：(1)；(2)；(3)；答案：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角．一．例题与课堂练习题1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中EF＝3FG＝EG＝1∴∠EGF＝120°∴AD与BC成60°的角。题2．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SC＝a，在△BQN中BN＝a25NQ＝21SM＝42aBQ＝a414∴COS∠QNB＝5102222NQBNBQNQBN题3．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．答案：45°题4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，易证∠GNA就是BM与AN所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝5，GN＝B1M＝6，cos∠GNA＝1030562556。基础过关BMANCSACBNMA1C1B1广东北江中学高二数学补充讲义：立体几何第2页，共4页ABCDA1B1C1D1EF题5．如图，在正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是1BB、CD的中点．求AE与FD1所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。题6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；(3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值解：(1)∵A平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且BCC′,∴直线BA′与CC′是异面直线同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线(2)∵CC′∥BB′，BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角∠A′BB′=45°BA′和CC′所成的角是45°(3)∵AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝AEAA＝21，所以AE和CC′所成角的正切值是21(4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF＝∥AB＝∥AB,∴ABFE是平行四边形，从而BF＝∥AE,即BF∥AE且BF=AE.∴BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为A′B＝22，A′F＝BF＝5，由余弦定理得：cos∠A′BF＝5105222)5()5()22(222【说明】(1)如图1—29，单独画出△ABF，使图中线段与角的数量关系较直观图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法；ABFM(图1－29)55B(图1－28)AABCDCDFE广东北江中学高二数学补充讲义：立体几何第3页，共4页(2)解法中用余弦定理求cos∠ABF,其实有更简单方法，请找出简单方法(3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案?异面直线所成的角的作业班级：姓名：学号：一．判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内；(2)对边相等的四边形是平行四边形；(3)平行于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一直线的两直线平行；(5)两条直线确定一个平面；(6)经过三点可以确定一个平面；(7)无公共点的两直线异面；(8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线；(10)两异面直线可以同时垂直于一直线；(11)不同在一个已知平面内的两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面案案：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；二．选择题1.没有公共点的两条直线的位置关系是()(A)平行(B)异面(C)平行或异面(D)不能确定2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是()(A)异面(B)平行(C)平行或异面(D)平行或异面或相交3.两条异面直线指的是()(A)(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)(D)4.a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是()(A)异面(B)异面或平行(C)异面或相交(D)相交、平行或异面5.说出正方体中各对线段的位置关系：(1)AB和CC1；(2)A1C和BD1；(3)A1A和CB1；(4)A1C1和CB1；(5)A1B1和DC；(6)BD1和DC.答案：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面；6.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()31032()()()()21055ABCD答案：(D)，取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F；7.如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()3013015()()()()1021510ABCD答案：(A)，延长B1A1至M，使A1M＝A1D1，连MA，取AB中点N．8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与ACB1(第6题)A1ABC1D1CD(第7题)F1ABCD1C1A1B1B1(第6题)A1ABC1D1CDMN广东北江中学高二数学补充讲义：立体几何第4页，共4页(A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直9.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c；②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面在上述四个命题中，真命题的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)1(E)010.如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线(A)不一定存在(B)总共只有一条(C)总共可能有一条，也可能有两条(D)有无穷多条11.如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°答案：8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；三．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值四.如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值五.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1MN与CC1所成角的余弦值。六.如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若AC＝CD＝DA＝8，AB＝BD＝5，BC＝7，求BE与CD所成角的余弦值。答案；三．34，取AD中点E，则∠MEN＝90°；四．57，取AC中点F，连EF、BF，求得BE＝21AD＝5，BF＝21AC＝32；五．552，分别取AC、B1C1的中点P、Q，则PMQN是矩形，设CC1＝MQ＝a，则MP＝21a；六．61，取AC中点F，连EF、BF，则EF＝4，BE＝BF＝3．FABCES(第11题)ABCDM(第三题)N43ABCD(第四题)E668(第五题)MABCNC1A1B18ABCDE(第六题)785445