材料力学--弯曲正应力及其强度条件

§5-3弯曲正应力及其强度条件一.弯曲正应力工程中以弯曲变形为主的杆件称为纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面对称弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。纯弯曲PPSFMaal=0=constSFM，纯弯曲：FQ=0,M=const00SFM≠，≠横力弯曲：FQ≠0,M≠constPPCDABPPPaQ≈dAdAMdAdAdSAFMSFdSAFdAM在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素d=τdA才能合成剪力SFSF纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：变形几何关系物理关系静力学关系1、变形几何关系aabbmnmnmmmm(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的aa，bb垂直(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。梁在纯弯曲时的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。观察到以下变形现象:再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。推论：梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴中性层中性轴中性层()ydddyzdxydyy2、物理关系EEy正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力为零(中性层y=0)上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定；2）式中未知.（若已知M，与M有何关系？）3、静力学关系dAdNAFAMzAyAdMyAzAd00M设中性轴为zd0NAFAEyAAd00dAAyE0zASydA必过截面形心中性轴Zyz横截面对Z轴的静矩MMzAyAd00dAAzydAEAyEz0yzAIzydAMyAMzAdyEyAMAd1zMEI令：AzdAyI2截面对yz轴的惯性积截面对z轴的惯性矩由于y为对称轴,上式自然满足。1MEIzMyIz正应力计算公式：中性轴过截面形心中性层的曲率公式：1）沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。中性轴上正应力为零。2）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。3）最大正应力发生在距中性轴最远处。1maxZMyIyyy12max当中性轴是横截面的对称轴时：2maxZMyImaxmaxmaxMWZmaxmaxMyIZ横截面上的最大正应力：Wz抗弯截面模量WIyzzmax公式适用条件：1）符合平面弯曲条件(平面假设，横截面具有一对称轴）2）p(材料服从胡克定律）对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨高比大于5时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中，误差不超过1%。横力弯曲时，弯矩不再是常量。()zMxyI圆环：Dyzd44446464(1)64yzzzIIIIDdD大小Dd其中复习IbhZ312IdZ4644444()(1)6464ZDdDI26ZbhW332ZdW34(1)32ZDW例11：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当最大正应力为最小时的支座位置。alaq⊕解：作弯矩图282qlqla22qa22qa支座位置直接影响支座截面和跨中截面上的弯矩值。当中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相等时，只有支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值相等，才能使该梁的最大弯矩的绝对值为最小，从而使其最大正应力为最小。22822qlqlaqa取有效值0.207al二.梁的正应力强度条件max强度条件：等直梁强度条件maxmaxzMW对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度条件为：maxmax请注意：梁的最大工作拉应力和最大工作压应力有时并不发生在同一截面上。一般情况下，许用弯曲正应力比许用拉(压)应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力外，其余各处应力较小。而轴向拉(压)时，截面上的应力是均匀分布的。利用强度条件可以进行三方面的强度计算：1、已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度。2、已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸。3、已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。例12：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1／P2＝？l解：maxmax111126MWPlbhzmaxmax222226MWPlhbz由得maxmax[]:12PPhb12例13：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？解：由公式maxmaxmaxMWMbhz26可以看出，该梁的承载能力将是原来的2倍。例14：主梁AB，跨度为L，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？a2a2l2l2PABCDAB2P2P2aL2aLMPlaABmax()4PaCDMPaCDmax4主梁AB副梁CDMM解：主梁AB的最大弯矩PlaPa44()副梁CD的最大弯矩MPaCDmax4由MMABCDmaxmax得al2MPlaABmax()4例15：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σ+］和［σ-］，则y1和y2的最佳比值为多少?(Ｃ为截面形心)PCy1y2z解：12[](1)(2)[]yy得：max1max[]zMyImax2max[]zMyI()1()2例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。10kN/m2m4m100200解：由弯矩图可见Mmax20kNm10kN/m2m4m10020045kN15kNQ()kN202515M()kNm201125.tzMWmax20100102632..30MPa[]该梁满足强度条件，安全例17：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。A1A2A32bbaad解：由题意可知A1A2A32bbaad即bbad()26632233AAA123::24222bad::bada063001193..07941112.::.zWMmaxmax例18：图示铸铁梁，许用拉应力[σ+]=30MPa，许用压应力[σ-]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。9kN4kNCz52881m1m1mABCDmax2.588CzI9kN4kNCz52881m1m1mM(kNm)2.5kN10.5kN25.4ABCDmax2.552CzImax452BzImax488BzIC截面：B截面：288.MPa170.MPa273.MPa461.MPa满足强度要求本题maxC和maxB可不必计算为什么？例19：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε=6×10-4，材料的弹性模量E=200GPa，求载荷P的大小。04.m05.m1mPABCD4020解：04.m05.m1mPABCD4020C点的应力CE2001061034120MPaC截面的弯矩MWCCzMRCA05.由得P32.kN0504..P02.P640Nm640Nm例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？q40kN/m15.mABC20030015.mq40kN/m15.mABC20030015.m解：C截面下边缘的应力CCzMWC截面的弯矩MqlC2845kNmCE应变值15MPa1510200106975105.例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为10mm，E=10GPa，求载荷P的大小。P2mABC2003002mP2mABC2003002m解：AClxx()d0/2xdx()xExld0/2MxWExzl()d0/2PxWExzl2d0/2PlWEz216PWElzAC162164020361051022103..150kN例22：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。bhd（使Wz最大）解：bhd222bhdWbhz26bdb()226Wbdbz22620由此得bd3hdbd2223hd2≈3:2例23:跨长l=2m的铸铁梁受力如图示，已知材料许用拉、压应力分别为30MPa和90MPa试根据截面最为合理的要求，确定T形梁横截面的一个参数，并校核此梁的强度。BAP=80KN1m2m22060220解：设z轴过形心最为合理时z1y2ymaxmax12yy170ymm2210ymmBAP=80KN1m2m22060220z1y2y1220220(60)602203027022060220ymm=24mm3322242202206024220(210110)22060(7030)1212zI646499.31099.310mmmmax8024044PlMKNmmax1max28.3zMyMPaI＜30MPa梁满足强度要求还需校核最大工作压应力吗？例24:图示悬臂梁在自由端受集中力作用，P=20KN。试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：(1)高宽比h/b=2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。140MPa1lmP=20KN解:作弯矩图Plmax20MPlKNmmaxmaxzMW由强度条件333max6201014314010zMWmcm(1)矩形26zbhWb=6cmh=12cm2172Acm(2)圆形332zdWd≈11.3cm22100Acm(3)工字形查型钢表，取16号工字钢3141zWcm2326.1Acm工字形截面最省料，圆形截面最费料。你知道为什么吗？合理选择截面形状是梁设计中的一个重要问题本题中，工字形截面的弯曲截面系数略小于临界值，其最大工作应力将略大于许用应力，但不超过5%，这在工程中是允许的。例25：一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载F已知b=2m,44549310zImm30MPa90MPaFCBDAbbbFqb12040180y2020解:求出中性轴位置作弯矩图z86134⊕Fb/2Fb/4分析可知，不论截面B或截面C，梁的强度均由最大拉应力控制6max8420.13443010549310CFmmPam6max8420.08623010549310BFmmPam24.6FKN19.2FKNF