2015-2016学年度大一第一学期《高等数学》寒假作业(一)

考试科目：高等数学适用专业：15级本科计算机科学与技术、软件工程、通信工程试卷第1页，共10页2015~2016学年度大一第一学期《高等数学》寒假作业（1）年级：____________班别：____________姓名：____________学号：____________一．选择题（每小题4分，共24分）1.函数)1lg(13xxy的定义域为（）A.[-3,0]∪(1,+)B.(1,+)C.[-3,0)D.[-3,0)∪(0,1)2．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）A.201sinlimsinxxxxB.lim(1)xxkxC.sinlimsinxxxxxD.eelim.eexxxxx3．下列极限正确的是（）A．10lim0xxeB．10lim0xxeC．sec0lim(1cos)xxxeD．1lim(1)xxxe4.设6)31)(21)(1(lim0xaxxxx,则a的值为()A.－1B.1C.2D.35．设1sin(0)0(0)1sin(0)xxxxfxxaxx且0limxfx存在，则a=（）A．-1B．0C．1D．26.当函数32yaxbxcxd满足下列的哪个条件时，函数没有极值（）A．042cbB．230bacC．04acD．042acb二．填空题（每空4分，共24分）7.函数cosyx的微分是__________.考试科目：高等数学适用专业：15级本科计算机科学与技术、软件工程、通信工程试卷第2页，共10页8.函数321yx的导数是____________.9.21lim(1)xxx=__________.10.对于函数1,1,(4)1.3,1,xxyxxx而言，x=1为该函数的一个间断点，那么间断点x=1应属于第___类间断点中的_______间断点.11.当1x时，下列的两个函数分别与无穷小量1x为同阶、等价关系的是______、______.①221(1)1,(2)(1)2xx②221(1)1,(2)(1)2xx12.221(2)dxxx的定积分为：_________.三．解答题（每小题6分，共42分）13.证明：双曲线2xya上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a.14.设()()fxxax,其中a为常数，()x为连续函数，讨论()fx在xa处的可导性.15.求下列函数的高阶微分：⑴21yx，求2dy；⑵xyx，求2dy；考试科目：高等数学适用专业：15级本科计算机科学与技术、软件工程、通信工程试卷第3页，共10页16.确定下列函数的单调区间：(1)3226187yxxx；(2)82(0)yxxx；17.设()fx在[0,1]上连续，且0()1fx，证明：至少存在一点[0,1]，使()f.18.研究下列函数的连续性，并画出图形。（1）221(3)()lim;(4)()lim.1xxnxxnnnnnxfxfxxnnx（2）221(3)()lim;(4)()lim.1xxnxxnnnnnxfxfxxnnx19.讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:(1)sin,0;yxx(2),1,1.2,1,xxyxxx考试科目：高等数学适用专业：15级本科计算机科学与技术、软件工程、通信工程试卷第4页，共10页四．应用题（10分）20.某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如第20题图所示)，设截面积为am2，问底宽x为多少时，才能使所用建造材料最省?考试科目：高等数学适用专业：15级本科计算机科学与技术、软件工程、通信工程试卷第5页，共10页2015~2016学年度大一第一学期《高等数学》寒假作业（1）参考答案1.D【解析】要使函数有意义,必须30lg(1)010xxx即有：301xxx所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).2.B【解析】∵200111sin2sincoslimlimsincosxxxxxxxxx不存在,（因1sinx，1cosx为有界函数）又2001sin1limlimsin0sinxxxxxxx,故A不能使用洛必达法则.∵sin1coslimlimsin1cosxxxxxxxx不存在,而sin1sinlimlim1.sinsin1xxxxxxxxxx故B不能使用洛必达法则.∵eeeeeelimlimlimeeeeeexxxxxxxxxxxxxxx，利用洛必达法则无法求得选项D的极限.而B项中的22ee1elimlim1ee1exxxxxxxx.故答案选B.3、A【解析】101lim0xxeee选A注：:,:2,:1BCD4.A【解析】0)31)(21)(1(lim0axxxx,1+a=0,a=－1,所以A为答案.5.C【解析】0sinlim1,xxx01limsinxxaoax1a，故选C.6.B【解析】当函数32yaxbxcxd满足230bac时，函数没有极值.证明过程：232yaxbxc，令0y，得方程2320axbxc，由于22(2)4(3)4(3)0bacbac，那么0y无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.7、11d(cos)d(sin)dsind22yxxxxxxxx考试科目：高等数学适用专业：15级本科计算机科学与技术、软件工程、通信工程试卷第6页，共10页8.5323yx9.2e10、一跳跃【解析】11limlim(3)2.xxyx11limlim(1)0xxyx∴x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)11.解：211111(1)limlim112xxxxx∴当1x时，1x是与21x同阶的无穷小.2111(1)12(2)limlim112xxxxx∴当1x时，1x是与21(1)2x等价的无穷小.12.解：原式012222101()d()d()dxxxxxxxxx01232233210111111132233251511.6666xxxxxx13.证明：在双曲线上任取一点00(,),Mxy则2220220,,xaaayyyxxx，则过M点的切线方程为：20020()ayyxxx令220000002202xyxayxxxxaa，得切线与x轴的交点为0(2,0)x，令2000000002xyaxyyyyxx。得切线与y轴的交点为0(0,2)y，故2000012222.2Sxyxya14.解：()()()()()limlim()()()()()()limlim()xaxaxaxafxfaxaxfaaxaxafxfaaxxfaaxaxa.故当()0a时，()fx在xa处可导，且()0fa当()0a时，()fx在xa处不可导.考试科目：高等数学适用专业：15级本科计算机科学与技术、软件工程、通信工程试卷第7页，共10页15.解：⑴22d(1)dd1xyxxxx,22d()d1xyxx3222(1)d.xx⑵(ln)(ln)(1ln).xyyyyxxxx21[(1ln)],xyxxx∴2221d[(1ln)]d(0).xyxxxxx16.（1）解：所给函数在定义域(,)内连续、可导，且2612186(1)(3)yxxxx，可得函数的两个驻点：121,3xx,在(,1),(1,3),(3,)内，y分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)内单调增加，在[1,3]内单调减少.（2）函数有一个间断点0x在定义域外，在定义域内处处可导，且282yx，则函数有驻点2x，在部分区间(0,2]内，0y；在[2,)内y0，故知函数在[2,)内单调增加，而在(0,2]内单调减少.17.证明：令()()Fxfxx,则()Fx在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,FfFf若(0)0f，则0,若(1)1f,则1,若(0)0,(1)1ff,则(0)(1)0FF由零点定理，至少存在一点(0,1),使()0F即()f.综上所述，至少存在一点[0,1]，使()f.18.（1）∵当x0时，221()limlim1,1xxxxxxnnnnnfxnnn当x=0时，0000()lim0,nnnfxnn当x0时，2222111()limlimlim1111xxxxxxxnnnxnnnnfxnnnn考试科目：高等数学适用专业：15级本科计算机科学与技术、软件工程、通信工程试卷第8页，共10页1,0,()lim0,0,1,0.xxxxnxnnfxxnnx由初等函数的连续性知：()fx在(,0),(0,)内连续，又由0000lim()lim11,lim()lim(1)1xxxxfxfx知0lim()xfx不存在，从而()fx在0x处间断.综上所述，函数()fx在(,0),(0,)内连续，在0x处间断.图形如下：图18-1(2)当|x|=1时，221()lim0,1nnnxfxxx当|x|1时，221()lim,1nnnxfxxxx当|x|1时，2222111()limlim111nnnnnnxxfxxxxxx即,1,()0,1,,1.xxfxxxx由初等函数的连续性知()fx在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由1111lim()lim()1,lim()lim1xxxxfxxfxx知1lim()xfx不存在，从而()fx在1x处不连续.又由1111lim()lim()1,lim()lim1xxxxfxxfxx知1lim()xfx不存在，从而()fx在1x处不连续.考试科目：高等数学适用专业：15级本科计算机科学与技术、软件工程、通信工程试卷第9页，共10页综上所述，()fx在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x处间断.图形如下：图18-219.(1)解：因为0,0lim0xxyy所以此函数在0x处连续.又00()(0)sin(0)limlim1,0xxfxfxfxx00()(0)sin(0)limlim1,0xxfxfxfxx(0)(0)ff，故此函数在0x处不可导.(2)解：因为1111lim()lim(2)1lim()lim1xxxxfxxfxx11lim()lim()(1)1xxfxfxf,故函数在x=1处连续.又11()(1)1(1)limlim111xxfxfxfxx11()(1)21(1)limlim111xxfxfxfxx(1)