三角形的证明讲义

..小巨人学科教师辅导讲义学生:谢仲铖教师:赵常巨日期:2015/3/14家长签名：课题三角形的证明教学目标1.能够证明与三角形,线段的垂直平分线，角平分线等有关的性质及判定定理。2.理解逆命题的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。3.尺规作图等腰三角形，角平分线，线段的垂直平分线。重点、难点1.重点是探索证明的思路和方法；2.难点是准确地表达推理证明的过程或相关计算。考点及考试要求本章内容在历年中考中主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线，角平分线的性质。这些内容还常常与三角形全等，相似等内容结合在一起综合考查，主要以证明题的形式出现。教学内容1、两边及其________对应相等的两个三角形全等（SAS）；2、两角及其________对应相等的两个三角形全等（ASA）；3、________对应相等的两个三角形全等（SSS）；4、________及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；5、全等三角形的对应边________,对应角________。6、有__________的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做____，两腰的夹角叫做_____，腰与底边的夹角叫做________，____________________________的三角形叫做等边三角形。回顾课本已知：△ABC是等腰三角形，AB=AC求证：∠B=∠C(提示：利用三角形全等证明。你能想到哪些方法？)归纳：1、等腰三角形性质定理：（简称“等边对等角”）；推理格式：∵AB=AC，∴_________（等边对等角）2、推论（三线合一）：；推理格式：①∵AB=AC,AD⊥BC,②∵AB=AC,BD=DC,③∵AB=AC,___平分____,∴BD=DC,AD平分_____,∴___⊥___,___平分_____,∴________________,1、等腰三角形的两边分别是7cm和3cm，则周长为____。温故知新CBA321ABCD..DCBAFE122、如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC，∠BAC=100°。求：∠1、∠B的度数。3、如图，已知∠D=∠C，∠A=∠B，且AE=BF。求证：AD=BC。4、如图，在△ABC中，D为AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=29°，求∠A。5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC。求证：∠1=∠2。总结一下：1、等腰三角形性质定理：（简称“等边对等角”）；2、推论（三线合一）：ABCDEFDCBA..EABCD第二篇章1、如图，E是△ABC内的一点，AB=AC，连接AE、BE、CE，且BE=CE，延长AE，交BC边于点D。求证：AD⊥BC。2、已知：如图，点D,E在三角形ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE3、已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C,求证：AB=AC（提示：构造两个全等三角形证明）归纳：1、有两个角相等的三角形是______三角形。（简称“等角对等边”）推理格式：∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边)2、反证法证明问题的一般步骤：从结论的_出发，先假设命题的结论__，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相__的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为____。1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。CBA..DCBAEABNC2.如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。3.如图，在ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC。求证：△EBD是等腰三角形。4、如图，一艘船从A处出发，以18节的速度向正北航行，经过10时到达B处。分别从A、B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°。求B处到灯塔C的距离。5、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，E是AC延长线上的一点且DB=CE,DE交BC于M.求证：MD=ME.6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。EABCD..回顾课本1、三条边都_______的三角形是等边三角形。2、三个_____都相等的三角形是等边三角形。3、有一个角等于_____°的等腰三角形是等边三角形。4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的________。5、直角三角形：有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。6、勾股定理的逆定理：∵AB2+AC2=BC2，，∴∠___=90°（△ABC是直角三角形）7、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________。8、互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却______是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为________，其中一个定理称为另一个定理的________。9.斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。（“斜边、直角边”或“__”）1.已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=59。（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形.2.、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？3、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。（1）如果ab=0,那么a=0,b=0；（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边对等角；4.、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。（1）如果yx，则22yx（2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等1、直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的两边分别为13和5，则另一条边为。..21EFABCD如果三角形的三边长是6、10、8，则这个三角形是三角形。2、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，求：AD3.如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD。求证：EB=FC。线段的垂直平分线线段的垂直平分线：垂直且______一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。定理：到一条线段两个端点距离__________的点，在这条线段的____________线上。推理格式：∵AB=AC，∴____点在线段BC的__。定理：线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。推理格式:∵PC⊥AB，AC=____(点P在线段AB的垂直平分线MN上),∴=PB教材精读5、已知：如图，在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且AP=BP=CP。证明：连接AP、BP、CP，∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=____（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）∵点P在线段BC的垂直平分线上，∴归纳：三角形三条边的__________线相交于_____，并且这一点到三个______的距离相等。推理格式：∵点P是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，∴PA=_____=_______.教材精读1、已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，求证：PD=PE..证明:∵PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，∴∠PDO=______=90°∵OC是∠AOB的角平分线，归纳：角平分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)推理格式：∵点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB，∴PD=__2、已知：如图，点P为∠AOB内一点，PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，求证：OP平分∠AOB。归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的___，在这个角的平分线上（证明角相等）推理格式：∵PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，∴点P平分。3.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD。4.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。求证：AD平分∠BAC。5、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE=BD。求证：P在∠ACB的角平分线上。OEDABPOEDABPEDABCPCBADE..ABCMNPDEF告诉你个秘密1、角平分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的____，在这个角的平分线上.（证明角相等）教材精读1.、已知：点P是△ABC的两条角平分线BM、CN的交点，求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF。证明：过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D，∵CN是△ABC的角分线，点P为CN上一点，∴PE=_____()∵BM是△ABC的角分线，点P为BM上一点，∴PE=_____()归纳：三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。推理格式：∵点P是△ABC的三条角平分线的交点，且PE⊥BC，PF⊥AC，PD⊥AB，∴PD=_____=_______.实践练习：（1）如图4，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.（2）如图5，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.图4图57、已知：如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.1、三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。回顾思考【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作..图等。2、发展初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高用规范的数学语言表达论证过程的能力。复习反馈1、等腰三角形的性质：（边）（角）三线合一：2、等边三角形的性质：（边）；（角）3、判定等腰三角形的方法有：（边）；（角）。4、判定等边三角形的方法有：（边）；（角）。5、线段垂直平分线的性质定理：。逆定理：。三角形的垂直平分线性质：。6、角的性质定理：。逆定理：。三角形的角平分线性质：。7、三角形全等的判定方法有：。8、30°锐角的直角三角形的性质：。9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。1、填空：（1）△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4cm，最长边AB=。（2）直角三角形两直角边分别是5cm、12cm，其斜边上的高是。（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是三角形。（4）三角形