5.2- 极限与连续

第一节预备知识第二节极限与连续第三节偏导数与全微分第四节微分运算法则第五节方向导数与梯度第六节多元函数微分学的几何应用第七节多元函数的Taylor公式与极值*第八节n元m维向量值函数的微分法第九节复变函数的导数与解析函数第五章多元函数微分学及其应用定义2.1:设z=f(x,y)=f(M)在点集E上有定义,M0(x0,y0)为E的一个聚点,若对任给存在使对满足的M(x,y),有:则称A为f(x,y)当时的极限,记为:,0,000MM)),((0MNM即Ayxf),()(,000MMyyxxAMfMM)(lim0或,),(lim00Ayxfyyxx2.1多元函数的极限与连续性一、极限注：（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx0(1)MM定义中的方式是任意的；0M0M.0sinlim22200yxyxyx证明.0sinlim,sin2220022222yxyxyxyxyxyx，有则当取对任给证明22222220,,0sinsin:yxyxyyyxyx1例例2求证证01sin)(lim222200yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx原结论成立．注1.多元函数有类似于一元函数的极限运算法则,如四则运算,复合运算,夹逼定理等同样成立.2.二重极限远比一元函数的极限复杂.二重极限存在,指M(x,y)以任何方式趋于时,函数f(x,y)都无限接近于A.)(0,00yxM00sin()limxyxyy求若M(x,y)按两种不同的方式趋于时,f(x,y)趋于两个不同的值,则可断定极限不存在.)(0,00yxM3例0000sin()sin():limlim100xxyyxyxyxyxy解?lim42200是否存在yxxyyx01limlimlim,)0,0(),(:2042304220xyxxxxxyxxyxyyxxx时趋于沿直线当解.212limlim,)0,0(),(2204220xy极限不存在时趋于沿曲线当xxyxxyxyyxx4例).,(limlim),,(limlim),,(lim),()2(1sin1sin),()1(00000022yxfyxfyxfyxyxyxyxfyxxyxfxyyxyx分别求设设222201sin1sin,0,,0).1(:yxxyxxyx有时则当取对任给的解.0),(limlim,),(limlim,),(lim,0),(lim000000yxfyxfyxfyxfxyyxyx不存在故不存在由于01sin1sinlim00yxxyx5例.lim1111limlim,)0,0(),().2(220y0x20220kxy0x不存在时趋于沿当yxyxyxkkkxkxkyxyxyxkxyyxx1lim),(limlim1lim),(limlim20002000yyyyxfxxxyxfyxyxyx而22(2)(,)xyxyfxyxy设二、连续),(),(lim0000yxfyxfyyxx若处连续。在则称),(),(000yxMyxf定义2.2:内的每一点处连续。在内的连续函数：为DyxfDyxf),(),(000MfEMfMf若为的定义点集的聚点，且不是的连续点，则称为函数的间断点。.DfC记为例6讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在(0,0)处的连续性．解取,cosxsiny)0,0(),(fyxf)cos(sin3322)0,0(),(fyxf故函数在(0,0)处连续.),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx,0,2当时220yx例7讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取kxy2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．.111),(,)(1),(22222上不连续在圆周上不连续在直线yxyxyxfxyyxyxf8例注:1.一元函数中关于连续函数的有关结论可推广到多元函数中,如四则运算:多元连续函数的和,差,积均为连续函数,连续函数的商在分母不为零处仍连续.2.多元初等函数在其定义域内连续.有界闭区域上的多元连续函数具有与闭区间上的一元连续函数类似的性质,如最大最小值定理,介值定理等.在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理2.2复变函数的极限与连续()(,)(,)wfzuxyivxyE复变函数在区域上有定义，()(,),(,)fzuxyvxy的连续性两个二元函数的连续性0000000(,)()(,)()lim(,),lim(,),xyxyxyxyzxiyuxyavxyb，，设，若000(,)0(),lim()lim((,)(,.))()zzxyxycfzuxyiaifzzvxyaibbc，则称有极即在点限00000(,)()000000000000lim((,)lim((,)(,))(,)(,),(,)(,))(,(),),.zzxyxyfzfzuxyivxyxiyauxybvxyuxyvxyuxyixyvxyfz，在特别，当点=连续时，若在点()连续，则称，即()(,),(,)fzuxyvxy与两个二元函数的区别：因此1.闭区域上的连续函数的最小值最大值定理连续的复变函数的最小值最大模值定理；本质上是复数与实数的区别，比如，复数不能比较大小，注：2.闭区域上的连续函数的有界性、介质定理连续的复变函数的有界性、模介质定理