线性规划的应用案例题

例2.12：某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：班次时间所需人数16：00——10：0060210：00——14：0070314：00——18：0060418：00——22：0050522：——2：002062：00——6：0030人力资源分配的问题设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0例2．13福安商场是个中型的百货商场,对售货员的需求经过统计分析如右表：为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？时间所需售货员人数星期日28星期一15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六28解：设xi(i=1-7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：MinZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28x2+x3+x4+x5+x6≥15x3+x4+x5+x6+x7≥24x4+x5+x6+x7+x1≥25x5+x6+x7+x1+x2≥19x6+x7+x1+x2+x3≥31x7+x1+x2+x3+x4≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0例2.13:某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m，问：应如何下料，可使所用原料最省？方案1方案2方案3方案4方案5方案6方案7方案82.9m120101002.1m002211301.5m31203104合计7.47.37.27.16.66.56.36.0剩余料头00.10.20.30.80.91.11.4套裁下料问题解:考虑下列各种下料方案（按一种逻辑顺序给出）方案1方案2方案3方案4方案5方案6方案7方案82.9m211100002.1m021032101.5m10130234合计7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料头0.10.30.901.10.20.81.4把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出假设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面前5种方案下料的原材料根数。我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5约束条件：s.t.x1+2x2+x4≥1002x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0方案1方案2方案3方案4方案52.9m120102.1m002211.5m31203合计7.47.37.27.16.6剩余料头00.10.20.30.8例2.14:明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？生产计划的问题甲乙丙资源限制铸造工时(小时/件)51078000机加工工时(小时/件)64812000装配工时(小时/件)32210000自产铸件成本(元/件)354外协铸件成本(元/件)56--机加工成本(元/件)213装配成本(元/件)322产品售价(元/件)231816解：设x1,x2,x3分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求xi的利润:利润=售价-各成本之和可得到xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。这样我们建立如下数学模型：目标函数:Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5约束条件：s.t.5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0例2.15:永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成B工序。Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ可在任意规格的A设备上加工，但对B工序,只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？解：设xijk表示第i种产品，在第j种工序上的第k种设备上加工的数量.利润=[（销售单价-原料单价）×产品件数]之和-（每台时的设备费用×设备实际使用的总台时数）之和。产品单件工时设备ⅠⅡⅢ设备的有效台时满负荷时的设备费用A15106000300A2791210000321B168400050B24117000783B374000200原料（元/件）0.250.350.50售价（元/件）1.252.002.80这样我们建立如下的数学模型:Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123s.t5x111+10x211≤6000（设备A1）7x112+9x212+12x312≤10000（设备A2）6x121+8x221≤4000(设备B1）4x122+11x322≤700(设备B2）7x123≤4000（设备B3）x111+x112-x121-x122-x123=0(Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等）x211+x212-x221=0(Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等）x312-x322=0(Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3例2.14:某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？产品名称规格要求单价（元/kg）甲原材料1不少于50%，原材料2不超过25%50乙原材料1不少于25%，原材料2不超过50%35丙不限25原材料名称每天最多供应量单价（元/kg）11006521002536035配料问题解：设xij表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润=收入-原料支出约束条件：规格要求4个；供应量限制3个。Maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超过25%）0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%）-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（原材料2不超过50%）x11+x21+x31≤100(供应量限制）x12+x22+x32≤100(供应量限制）x13+x23+x33≤60(供应量限制）xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3例2.17：某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。投资问题据测定每万元每次投资的风险指数如下表：项目风险指数（万元.次）A1B3C4D5.5a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？问：解：1）确定决策变量：连续投资问题设xij(i=1—5，j=1、2、3、4)表示第i年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下决策变量：Ax11x21x31x41x51Bx12x22x32x42Cx33Dx242）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是：x11+x12=200第二年：B次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.1x11，于是：x21+x22+x24=1.1x11第三年：年初的资金为1.1x21+1.25x12，于是：x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12第四年：年初的资金为1.1x31+1.25x22，于是：x41+x42=1.1x31+1.25x22第五年：年初的资金为1.1x41+1.25x32，于是：x51=1.1x41+1.25x32B、C、D的投资限制：xi2≤30(i=1，2，3，4)，x33≤80，x24≤100a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200x21+x22+x24=1.1x11x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12x41+x42=1.1x31+1.25x22x51=1.1x41+1.25x32xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤100xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）3）目标函数及模型：b)Minf=（x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24s.t.x11+x12≤200x21+x22+x24≤1.1x11x31+x32+x33≤1.1x21+1.25x12x41+x42≤1.1x31+1.25x22x51≤1.1x41+1.25x32xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤1001.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24≥330xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）