留数定理计算积分

1DepartmentofMathematics第二节用留数计算定积分2留数定理的应用--积分的计算:（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。利用留数计算积分的特点：（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；32π0(cos,sin)dR一计算型积分思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条形如π20d)sin,(cosRiez令ddiiez,ddizz)(21siniieei,212izz4)(21cosiiee,212zz当历经变程]π2,0[时,1z的正方向绕行一周.z沿单位圆周d)sin,(cosπ20Rzzfzd)(1z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.12Re().knzakisfz注:,(sin,cos)[0,2],1.izeRz关键是引进代换在上连续可不必检验只要看变换后被积函数在是否有奇点5例12π20cos2d(01).12cosIppp计算积分的值解01,p由于)cos1(2)1(cos2122pppp内不为零，在π20故积分有意义.)(212cos22iiee由于),(2122zzizzpzzpzzIzd22112211226izzpzzpzzIzd221122112242111d12()()zzzpizzzpp,1,,0ppz被积函数的三个极点内，在圆周1,,0zpz为一级极点，为二级极点，且pzz011()d.2zfzzpi7上被积函数无奇点，所以在圆周1z'4001Re()|1()()zzzsfzzzpp21,pp421Res()|1()zpzpzfzzzp421,(1)ppp因此2221112π2(1)ppIipippp.1π222pp8注:11,()10,pfzzzp若则在内奇点为此时1012π[Re()Re()]2zzpIisfzsfzpi例2计算积分2π201d(1).(cos)Iaa解,iez令则,21cos2zzd,dziz2π201d(cos)Ia2211d1()2zzzizaz2214(21)zzdzizaz92214d()()zzzizz2221),1)210,aaaazaz其中为实二次方程的二相异实根1,,1,1;由且显然故必有22()1,()()1,6.4zfzzzzzz于是在上无奇点在内只有一个二阶极点由推论得'2Re()[]|()zzzsfzz3()3224(1)aa10由留数定理2π201d(cos)a2214(21)zzdzizaz4i2Re()zisfz83224(1)aa3222.(1)aa例3计算2π20d.1cosxIx解,ixze令22011cosIdxx2211d11()2zzzizz114212261zzdzizz2421261zdzizz2,zu令1,1;zzuu则当绕正向一周时绕正向二周2i212,61uduuu21()138,61fuuuuu在内有一个一阶极点且2'381|(61)uuu38Re()usfu1281,42由留数定理21461uduIiuu3842Re()uisfui2.12注:0(sin,cos),(sin,cos)RRd若为的偶函数则亦可用上述方法求01(sin,cos)(sin,cos).2RdRd例4计算积分π0cos(.54cosmxIdxmx为正整数)解π1cos254cosmxIdxxπ1Re254cosimxedxx,ixze令则π54cosimxeJdxx211522mzzdzizz13112()(2)2mzizdzzz122Re12()(2)2mziziszz12|2mzzz1,32m1Re2IJ所以.32m14在许多实际问题中，往往要求计算反常积分的值，如2000sin,sin,cos,axxdxxdxebxdxx数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用留数计算,较简捷.,()([,]()())[,],,[,],().gzabgzfxababgz这种方法的基本思路是先取辅助函数在上的实部或虚部为在有限区间上的定积分再引入辅助曲线同一起构成周线在内除有限个点外解析且连续到()()2Re()kbazagxdxgzdzisgz()gz在周线内留数和(),.gzdz若能估计出则两边取极限即可求广义积分值15()d()PxxQx二计算型积分1引理6.112():Re(,),iRfzSzR设沿圆弧充分大上连续且lim()Rzfz12(),RS于上一致成立即与中的无关则21lim()().RSRfzdzi证明因为211()RSidzz于是有21()()()(6.10)RRSSzfzfzdzidzz16000,()0,,RRR对由已知条件使当时有21(),RzfzzS于是有21()()()RRSSzfzfzdzidzz21.lR172定理6.7()(),()PzfzQz设为有理分式其中1010(),(0);mmmPzczczcc1010(),(0);nnnQzbzbzbb与,(1)-2,(2)()0,nmQz为互质函数且合条件在实轴上于是有Im0()2πRe().(6.11)kkzaafxdxisfz18证明由条件(1),(2)及数学分析的结论,知(),fxdx存在且等于它的主值lim().RRRfxdx..().PVfxdx记为:Re(0)(),[,],()().(2),().iRRRRRzRRCRCfzfzC取上半圆周作为辅助线如图于是由线段及合成一周线先取充分大使内部包含在上半平面内的一切孤立奇点实际上只有有限个极点由条件在上没有奇点x0R.R.R1a2aka根据留数定理得:Im0()d2Re(),RkkCzaafzzisfz19或写成Im0()()d2Re().(6.12)RkkRRzaafxdzfzzisfz因为()()()PzzfzzQz101101mmmnnnczczczbzbzb1101101mmmnnncczczzzbbzbz(1)11,Rnm由条件知故沿上有()0zfz().R(6.12),6.1,R在等式中命并根据引理知(6.12),中第二项的积分之极限为零(6.11).这就证明了20441()6.7,fzza因满足定理条件解Re()kzasfz而例5440d.xxa0,a设计算积分44440d1d,2xxxaxa()fz且在上半平面24,0,1kikaaek只两个一级极点31|4kzaz4,4kaa314ka210112{Re()Re()}2zazaisfzsfz3π.22a4[iae所以44440d1d,2xxxaxa44ia34]iae22424()6.7,(23)zfzz因满足定理条件解例6424.(23)xdxx计算积分()fz且在上半平面2,3zi只有一个四级极点44443()()zzaza2,3aizat记令则424()(23)zfzz4444()3(2)tatta23431Re(),332zasfza故43223444432234146431632248aatatatttaatatatt4413t23231()1683232tttaaa23Re(),5766ziisfz即424(23)xdxx从而232Re()ziisfz25766ii.288624()d()imxPxexQx三计算型积分1Jordan引理引理6.2():Re(0,),iRgzzR设函数沿半圆周充分大上连续且lim()0Rgz,R在上一致成立则lim()0,(0).RimzRgzedzmxy0RR.R.25证明000,()0,,RRR对使当时有(),Rgzz于是就有()RimzgzedzRe0(Re)ReiiimigeidRsin0,(6.13)mRed(Re),Re,iigiR由于以及Resincossin.iimmRimRmReee于是由Jordan不等式2sin(0),226将(6.13)化为()RimzgzedzRsin202mRed2R202mRed2R202[]|2RmeRm(1)mRem.m应用引理6.2,完全和证明定理6.7一样可得272定理6.8()()()()()PzgzPzQzQz设,其中及是互质多,项式且合条件Im0()2πRe[()].(6.14)kkimximzzaagxedxisgze(2)()0;Qz在实轴上(1)()();QzPz的次数比的次数高(3)0;m则有注:将(6.14)分开实虚部,就可得到形如()()cosdsind()()PxPxmxxmxxQxQx及的积分.28证明:Re(0)(),[,],()().(2),().iRRRRRzRRCRCfzfzC取上半圆周作为辅助线如图于是由线段及合成一周线先取充分大使内部包含在上半平面内的一切孤立奇点实际上只有有限个极点由条件在上没有奇点x0R.R.R1a2aka根据留数定理得:Im0()d2Re(),RkkCzaafzzisfz()(),imzfzgze设29或写成Im0()()d2Re().(*)RkkRRzaafxdzfzzisfz因为()()()PzgzQz101101mmmnnnczczcbzbzb101101mmmnnncczczzzbbzbz(1)1,Rnm由条件知故沿上有()0gz().R(*),6.2,R在等式中命并根据引理知(*),中第二项的积分之极限为零(6.14).这就证明了30例7计算积分.0,0,d)(sin0222amxaxmxx解220sind()xmxxxaxeaxximxd)(Im21222且在