数理方程-分离变量法

齐次发展（演化）问题的求解齐次稳定场问题的求解非齐次问题的求解多变量推广本章小结§2.1齐次发展方程的分离变量法一分离变量法简介研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题(,)()()uxtXxTt设代入上述波动方程和边界条件得200000,000()(),0ttxxxxltttuauxltuuuxuxxl20(0)()0()()0XTaXTXTtXlTt方程、边界条件均齐次用遍除2aXT2TXaTX(0)()0XXl2TXaTX两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作------2TXaTX这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程，且边界条件也同样进行分离0(0)0()0XXXXl20TaT称为固有值（本征值）问题20,r1212rxrxyCeCe12()yCCx12(cossin)yCxCx特征根通解求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的特征方程(2)求出特征根，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。0yy21,rr二阶常系数齐次线性微分方程1、在λ0时，方程的解是xxeCeCxX21)(121200llCCCeCe积分常数和由边界条件确定1C2C由此解出=0,=0，从而1C2C0)(xX2、λ=0时方程的解是21)(CxCxX21200CClC则仍然解出1200CC(,)()()0uxtXxTt3、λ0的情况方程的解是xCxCxXsincos)(21120sin0CCl只有才能保证，方程有非零解0sinl20C()sinnnnxXxCl此时再看关于T的方程02222TlnaT于是或nl222nnl1,2,n称为固有值，称为固有函数n()nXx这个方程的解()cossinnnnnatnatTtABll分离变量的形式解),(txun)sincos(latnBlatnAnnlxnsin(n=1,2,3,…)),(txu)sincos(1latnBlatnAnnnlxnsin由叠加原理，一般解为：现在要求出叠加系数和nAnB满足初始条件0()tux0()ttux0xl方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得02()sinlnnAdlldlnanBlnsin)(201(,0)sin()nnnuxAxxl1(,0)sin()tnnnanuxBxxll，则可得原问题的解：按上述公式计算出系数和nAnB),(txu)sincos(1latnBlatnAnnnlxnsin注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。分离变量流程图2ttxxuau||xxluu0=000|()()tttuxux)()(xXtTu(0)()0XXl2TXaTX20TaT0XXcossinnnnnatnatTABll2()sin,nnlnnlXx()()nnnuTtXx()()nnuTtXx),(txuu固有值（特征值）问题分离变量常微分方程（关于X）+边界条件故有(值)函数常微分方程（关于T）+初始条件叠加系数本征值通解故有函数偏微分方程【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件2000,0,00,0()txxxxxltuauxltuuux试探解(,)()()uxtXxTt代入方程和边界条件得固有值问题0(0)0()0XXXXl【例题1】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度,另一端跟外界绝热，杆上初始温度为,试求无热源时细杆上温度的变化。()x和常微分方程20TaT分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下分离变量流程图2txxuau||xxxluu0=00|()tux)()(xXtTu(0)()0XXl2TXaTX20TaT0XX2222(21)4()natlnnTtCe(21)22(21)2(),1,2,sin,nnlnnlnXx()()nnnuTtXx()()nnuTtXx),(txuu固有值（特征值）问题经讨论知，仅时有非零解，且02cos0Cl1(),0,1,2,32lnn2222221()(21)24nnnll只有12()cossinXxCxCx10C由得(0)0X由得()0Xlcos0l于是得固有值和固有函数为由此得(21)()sin2nnxXxl2222(21)04nTaTl2222(21)4()natlnnTtCe下面求解得由叠加原理，得2222(21)40(21)(,)sin2natlnnnxuxtCel确定系数,由初值条件知nC0(21)sin()2nnnxCxl)0(lx02(21)()sin2lnnxCxdxll于是如取，则()Axxl12002202(21)22(21)sin[(cos)2(21)22(21)8cos](1)(21)2(21)lnlnAnxAlnxCxdxxllllnllnxAdxnln2222(21)4222028(21)(,)(1)sin(21)2natnlnAAnxuxtenl从而下列问题2000,0,00,0txxxxxltuauxltuuAuxl的解为图形如下:(程序:my1)(a)精确解图(b)瀑布图051000.510510152025XTu051000.510510152025XTua=5A=10l=10N=100§2.2稳定场齐次问题的分离变量法1矩形区域上拉普拉斯方程【例题1】散热片的横截面为矩形。它的一边处于较高温度，边处于冷却介质中而保持较低的温度,其他两边，温度保持为零，求解这横截面上的稳定温度分布.by0y0xxa),(yxuU0u【解】先写出定解问题定解问题0xxyyuu000(0)xxauuyb00(0)yybuuuUxa方程齐次这组边界条件齐次用分离变量法分离变量流程图0xxyyuu||xxauu0=000|yybuuuU()()uXxYy(0)()0XXaXYXY0YY0XX()nnyyaannnYyAeBe2(),1,2,()sin,nnannanXxx()()nnnuXxYy(,)()()nnuxyXxYy(,)uuxy固有值（特征值）问题设形式解为：(,)()()uxyXxYy代入上述泛定方程,得到0(0)0()0XXXXa0YY得到固有值问题和常微分方程得固有值：222(1,2,.....)nnna固有函数：()sinnnxXxa,.....)2,1(n()nnyyaannnYyAeBe而1(,)()sinnnyyaannnnxuxyAeBea(,)()sinnnyyaannnnxuxyAeBea于是有叠加得为确定叠加系数，将代入非齐次边界条件(,)uxy011()sin()sinnnnnnbbaannnnxABuanxAeBeUa将等式右边展开为傅里叶正弦级数,并两边比较系数，得00022(1(1))sinnannnxuABudxaan2(1(1))nnnbbaannUAeBen联立求解得0(1(1))()sh()nbnanUueAnbna0(1(1))()sh()nbnanueUBnbna101(,)()sin2(1(1))()[shsh]sinshnnyyaannnnnnxuxyAeBeanynbynxUunbaaana故原问题的解为小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件是齐次的，则可使用分离变量法求解。图形如下：（程序：my2）00.511.5201230123456XYu00.511.5200.511.522.530123456XYua=2b=3U0=1U=5N=150(a)精确解图(b)瀑布图【例2】求解下列问题0xxyyuu00(0)xxaupuPyb00(0)yybuuuUxa特点：边界条件均非齐次让和分别满足拉普拉斯方程,并各有一组齐次边界条件，即(,)xy(,)wxy000000xxyyxxayybpP000000xxyyxxayyb(,)(,)(,)uxyxywxy则，而上面两个定解问题分别用例1的方法求解。称为定解问题的分拆。【例题3】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的，水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型，求导线外电场的电势。【解】先将物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为z轴，物理问题与Z轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆222xya柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程0yyxxuu（在柱外）0222ayxu可以看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径。在极坐标下研究该问题，在极坐标下，上述问题可表示成2圆形区域问题0~cosuE)(01122222auuu0au设分离变数形式的试探解为(,)()()uR代入拉普拉斯方程，得2RRR令2RRR此条件是根据电学原理加上的移项、整理后得：2110RRR分离为两个常微分方程00'2RRR（自然边界条件，附加）)(cossin(0)AB(0)AeBeBA(0)得固有值和固有函数为2nn0(0)cossin(0)nnAnAnBnn()n(2)()和固有值问题解得将本征值代入常微分方程，得到欧拉型常微分方程22'0RRnR作代换则，方程化为：telnt2220dRnRdt00ln,0(),0nnnnnCDnRCDn于是通解是),(uln00DC1(cossin)nnnnAnBn1(cossin)nnnnCnDn解得00,0()0nntntnnCDtnRtCeDen即一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅里叶系数为零,即：0011ln(cossin)(cossin)0nnnnnnnnCDaaAnBnaCnDn00ln0,CDa00nnnnnnnnaAaCaBaD由此得：00ln,CDa22nnnnnnCAaDBa由条件得0au主要部分是项,可见在表达式中不应出现高次幂，于