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第1页共4页以小见大——用好函数定义域慈溪市三山高级中学315300黄启明函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一,函数的定义域似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,对提高学生的思维品质是十分有益的。本文结合数例谈谈如何用好函数定义域。1确定函数定义域的原则当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合。当函数y=f(x)用图像给出时,函数的定义域是指图像在x轴上投影所覆盖的实数的集合。当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合。当函数y=f(x)用实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定。基本上可分为自然定义域与限定定义域两类:如果只给函数的解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域;如果函数受应用条件或附加条件所制约,其定义域称为限定定义域。定义域经常作为基本条件(或工具)出现在高考试题中,通过函数性质或函数应用来考查具有隐蔽性,不为人们所注意,即主要求限定定义域,所以在解决函数问题时,必须树立起“定义域优先”的观点,以先分析定义域来帮助解决问题。2函数定义域的解题功能2.1导向功能函数的定义域对许多数学问题的求解,有着明显的导向作用,优先考虑定义域,有助于启迪思路,理顺解题线索。【例1】解方程211232xx分析:用常规方法求解,难以奏效,构造函数,从定义域入手,问题不攻自破。简解:考虑函数f(x)=21123xx,定义域为|11xxx或当x=-1时,f(-1)=2当x1时,易证f(x)为增函数,故有f(x)f(1)=2132原方程的解为1x第2页共4页2.2简化功能巧用函数的定义域,可以避免复杂的变形与讨论,使问题简捷获解。【例2】判断函数f(x)=22|2|2xx的奇偶性。分析:从定义域入手可化简解析式。简解:函数的定义域为2,00,2f(x)=22xxf(-x)=-f(x)()yfx为奇函数2.3显隐功能从函数的定义域出发,分析题目的结构特征,有助于挖掘隐含在题目中的条件,从而使问题化隐为显,促成问题的快速解决。【例3】已知22326xyx,求22xy的最大值。分析:已知等式有两个作用,一是可将2y用x表示—消元,二是确定x的取值范围—定义域。简解:由22326xyx得22332yxx20y23302xx得02x2222231933222xyxxxx,0,2x2.4制约功能函数由定义域和对应法则确定,函数图案和性质受定义域制约,因此从定义域出发研究函数问题是一种行之有效的方法。【例4】求函数f(x)=2cossin()42xx的递减区间。分析:三角变形是定义域基础上的恒等变形。第3页共4页简解:f(x)=2sin()24cos()42sin()42xxx其定义域为|2,2xxkkZ减区间为5(4,4),22kkkZ3函数定义域的外延3.1数列问题函数的定义域实质是变量的允许值范围,在高中数学的其他内容也有涉及变量的,都应及时考虑其取值范围,在数列题中,n就是一个变量,应关注n的取值范围解题。【例5】已知数列na满足*(),2nnnnnSanNSa是的前n项和,2a=1,求nS。简解:当2n时,1()2nnnnSSS12nnSnSn312341232,(3)345nnSSSnnSSSn22,(3)nSnSn(n-1)120,1SS(1)2nnnS*()nN3.2解析几何问题在解析几何求曲线的方程中,动点P(x,y)就是一个变量,所以在求出的轨迹方程中应考虑其纯粹性。【例6】设抛物线24ypx(p0)的准线与x轴的交点为M,过点M做直线l交抛物线于A,B两点,求线段AB中点的轨迹方程。简解:设P(x,y)第4页共4页M(-p,0)可设l:y=k(x+p)再联立方程24ypx得到22222(24)0kxkppxkp2242222(24)416160kpkpkpp21110kkk且又212222xxpkpxk2222()pkppykpkk消去k得:22()ypxp(xp)3.3排列组合题在排列数与组合数中,n也是一个变量,应考虑n有意义的取值范围。【例7】求值591nnnnCC简解:联立方程5-n≧09-n≧0n≧5-nn+1≧9-n得到4≦n≦5当n=4时,原式=5当n=5时,原式=16定义域虽小,但它对数学问题的解决有一石激起千层浪的效应,忽视定义域对解题的影响,很有可能会落个“一着不慎,满盘皆输”的下场。
本文标题:以小见大-用好函数定义域
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