微分中值定理及其应用习题课

二、应用习题课一、微分中值定理微分中值定理及其应用拉格朗日中值定理)()(bfaf一、微分中值定理1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理0)(fxyoab)(xfy)()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF柯西中值定理xxF)(xyoab)(xfy泰勒中值定理))(()()(000xxxfxfxfnnnxxxf))((00)(!10n10)1(!)1(1))((nnnxxf2.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用逆向思维找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.例1.设函数在内可导,且证明在内有界.例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在例3.且试证存在例4.设实数满足下述等式01210naaan证明方程在(0,1)内至少有一个实根.例5.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且,1)3(,3)2()1()0(ffff使,)3,0(.0)(f(03考研)试证必存在例6.设函数在上二阶可导,且证明二、微分中值定理的应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线2.解决最值问题•目标函数的建立与简化•最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.例8.证明在上单调增加.例9.设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.思考:若题中改为,0)()(xfxf其它不变时,如何设辅助函数?)()(xfexx例10.求数列的最大项.例11.证明.)0(1arctan)1ln(xxxx思考:证明)10(arcsin)1ln(11xxxxx时,如何设辅助函数更好?xxxxxarcsin1)1ln()1()(2提示:例12.设且在上存在,且单调递减,证明对一切有例13.例14.证明当x0时,证:令,)1(ln)1()(22xxxxf则0)1(fxxxfln2)(0)1(fxxfln2)(,121x02)1(f32)1(2)(xxxfxx1,)1(2x法1由)(xf在1x处的二阶泰勒公式,得)(xf2)1(!2)1(xf3)1(!3)(xf2)1(x332)1(31xxx在,0(0故所证不等式成立.与1之间)法2列表判别:,)1(ln)1()(22xxxxf0)1(f1()2ln2xfxxxx0)1(f,1ln2)(21xxxf02)1(f32)1(2)(xxxfx)(xf)(xf)(xf)(xf1)1,0(),1(0020,0)(0xfx时故当即.)1(ln)1(22xxx法3利用极值第二判别法.,0)(1的唯一根是易知xfx的唯一为)(1xfx故0)1(f也是最小值,因此当0x时,0)(xf即22)1(ln)1(xxx,)1(ln)1()(22xxxxf0)1(f1()2ln2xfxxxx0)1(f,1ln2)(21xxxf02)1(f，极小点,0)1(f且122)1(ln)1(xxxy例15.求解法1利用中值定理求极限解法2利用泰勒公式解法3利用罗必塔法则思考与练习1.设,1)()()(lim2axafxfax则在点a处().)()(xfA的导数存在,；且0)(af)()(xfB取得极大值;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.2.设)(xf在0x的某邻域内连续,且,0)0(f,2cos1)(lim0xxfx则在点0x处).()(xf(A)不可导;(B)可导,且;0)0(f(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.3.设)(xfy是方程042yyy的一个解,若,0)(0xf且,0)(0xf则)(xf在)(0x(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:0)(4)(00xfxfA