微分方程一

高等数学高等数学第六章微分方程第一节基本概念一、实例例6-1、6-2例1：一曲线通过点（1，2），曲线上任意点的切线斜率为2x，求曲线方程。解：设所求曲线为y=f(x),则xdxdyxdxdyxdxdy222第一节基本概念112,122xyDyxCxy，，满足例2：在理想环境中，某细菌的增殖速率与它的即时存在量成正比。试建立细菌在时刻的存在量满足的微分方程。)()(tkNdttdN第一节基本概念例3：自由落体问题222221112122()1()20,0,00,012dsdsdsmmggdgdtdtdtdtdsgtCdsgtCdtsgtCtCdtdstsCCdtsgt第一节基本概念二、常微分方程定义1：含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。(Ordinarydifferentialequation)第一节基本概念常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。（只有全导数，没有偏导数）偏微分方程：未知函数为多元函数，出现偏导数的方程。本章只讨论常微分方程一般形式：0),,('nyyyxF第一节基本概念微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫微分方程的阶。(order)三、常微分方程的解定义2：满足微分方程的函数，叫作微分方程的解。(solution)第一节基本概念(1)通解：含有独立的任意常数、且个数与微分方程的阶数相同的解。(generalsolution)(2)特解：在通解中，利用已知条件（或初始条件initialcondition）确定任意常数后，所得的解。（particularsolution）第一节基本概念一般一阶微分方程初始条件：0000yyyyxxxx或时二阶初始条件：1'01'0000,,,yyyyyyyyxxxxxx或第二节一阶微分方程一般形式),(yxFdxdy第二节一阶微分方程如果方程形式为：dxxfygdyygxfdxdy)()()()(两边积分：dxxfygdy)()(一、可分离变量的微分方程第二节一阶微分方程例：p118例6-4—例6-6例1：求微分方程的通解)1(2yxdxdyxdxydy21—解：分离变量得两边积分：Cxarctgy221通解为：)21(2Cxtgy第二节一阶微分方程例2：求微分方程满足初始x=2,y=4条件的特解0xdyydx分离变量：ydy=-xdx两边积分得：Cxy2222当X=2时,y=4，得C=10特解：2022yx第二节一阶微分方程例3：由物理学知道，放射性元素铀在某时刻的衰变速度与该时刻铀的质量M成正比。已知t=0时，铀的质量为M，求在衰变过程中铀的质量随时间变化的规律。解：设在时刻t的质量是M=M(t)，衰变速度是dM/dt则dMdMMdtdtMtCCteeeMCtM11__ln1第二节一阶微分方程例4：tteMMCMCeM00____初始一容器内有100升葡萄糖水，其中含葡萄糖10千克，今以2升/分的速度将净水注入，并以同样速度使葡萄糖水流出。有一搅拌器不停的工作，可以认为溶液的浓度是均匀的。求（1）t时刻的葡萄糖含量（2）50分钟后的葡萄糖的含量。第二节一阶微分方程解：设t时刻溶液中的葡萄糖含量为x，则在t,t+dt内溶液中葡萄糖含量的变化为葡萄糖含量的增量=流进的葡萄糖量-流出的葡萄糖量葡萄糖的增量为dx，流进的葡萄糖量为零。t时刻的浓度x/100为dt内的浓度，则流出的葡萄糖量为x/100·2dt,微分方程为0.020.02ln0.02lntdxxdtxtCxCe第二节一阶微分方程初始条件：t=0,x=10得C=0则：tex02.010当t=50时，得（千克）679.3101ex第二节一阶微分方程二、一阶齐次方程定义如果一阶微分方程，可化为称这微分方程为齐次微分方程。例：考察方程p119'()yyfx()()dududxuxfudxfuux两边积分，用u=y/x代入。例：例6-7、6-8、6-9三、一阶线性微分方程定义：一阶微分方程中的未知函数y以及它的导数y都是一次幂，称为一阶线性微分方程。(linearfirst-orderdifferentialequation)一般形式：)()('xQyxPy三、一阶线性微分方程线性齐次(homogeneous)方程:0)('yxPyQ(x)=0线性非齐次(inhomogeneous)方程：)()('xQyxPy齐次方程的解：分离变量得三、一阶线性微分方程1()()11()ln()___pxdxpxdxdypxdxypxdxCyyCeyCeCC三、一阶线性微分方程dxxpCey)(非齐次方程的解：常数变易法(methodofvariationofconstants),将齐次通解中的C=C(x).方程变为()()___()ln()()()dyQxpxdxyyQxydxpxdxuxpxdxy记作两边积分三、一阶线性微分方程dxexQeCeydxxpdxxpdxxp)()()()(()()()()()()pxdxpxdxuxuxpxdxyeeyeeycxe记作设想方程的解有形式：()()pxdxycxe三、一阶线性微分方程非齐次方程的通解由两部分组成：第一部分是对应齐次方程的通解；第二部分是原来非齐次方程的一个特解。例：p122例6-10、6-11三、一阶线性微分方程例1：求方程的通解222xxexydxdy先求齐次方程的通解02xydxdy分离变量，得xdxydy2积分得2xCey三、一阶线性微分方程再用常数变易法解。设代入方程有222)(2)()('xxxexxCexCdxdyexCyCxxCxxC2')(____2)(方程通解：2)(2xeCxy用公式解：22)(___2)(xxexQxxP结果相同三、一阶线性微分方程例2：求方程通解xexyysin'cos解：齐次cxyxdxydyxydxdylnsinlncos0cos齐次通解：xCeysin非齐次设xxxexxCexCyexCysinsin''sin)(cos)()(CxxCeexCxx)()(sinsin'三、一阶线性微分方程方程通解：xxxxeCeeCxysinsinsin)(例3：求方程通解2'1xyxy解：齐次Cxyyxdxdy01非齐次)()()(''xCxxCyxxCy三、一阶线性微分方程例4：CxxCxxC2'21)()(通解：xCxy)21(2求方程满足初始条件的特解61___214xyxydxdyx三、一阶线性微分方程标准形式：32xyxdxdy齐次方程：220___dydyydxdxxyx分离变量得通解：2Cxy常数变易，设原方程的解为：2)(xxCy代入原方程，有CxxCxxC6)(___)(65'三、一阶线性微分方程则通解为：2461xCxy由0611Cyx特解：461xy三、一阶线性微分方程四、伯努利方程定义称伯努利（Bernoulli）方程。()()(0,1)ndyPxyQxyndx01nn或线性微分方程；0,1nn非线性微分方程三、一阶线性微分方程1(1)()()1(1)()(1)()nnnnndzdyzynydxdxydzPxzyQxyndxdznPxznQxdx令例：p123例6-12三、一阶线性微分方程2122(ln)1ln[(ln)]2[(ln)]12dyyaxydxxdzzyzaxdxxazxCxayxCx令通解：例：三、一阶线性微分方程11111ln1ln11____yCdydxxyxyudxxydydyduduuuuxCdxdxdxuyxyCxCeyCe例：令三、一阶线性微分方程例：求微分方程的通解()cosyxCx例：通解为的微分方程为：xyCex''111xyCeyxyyxxytgxycos'三、一阶线性微分方程例：曲线y=f(x)过点(0,-1/2)，其上任一点(x,y)的切线斜率为xln(1+x2),求f(x).20222221ln(1)___21ln(1)(1)[ln(1)1]201()(1)[ln(1)1]2xdyxxydxyxxdxxxCCfxxx初解始：三、一阶线性微分方程例：求微分方程的通解3()20yxdxxdy253212211()55dyxydxxyxxCxCx解：例：2'2_(1)1xyxyyy求的解。三、一阶线性微分方程'22'1221'332111111112()21yyyyyyxxxxzyzzxxxzxCyxyx解令：第三节二阶微分方程一、可降阶微分方程第三节二阶微分方程1．型的微分方程（不显含函数和导数，两次积分）)(''xfy211'])([)(CxCdxxfyCdxxfy2．型),('''yxfy代换：设'''')(pdxdpyxpy第三节二阶微分方程方程变为：),(),(1'cxppxfp通解为即：211),(),(cdxcxycxdxdy例：p123例6-13第三节二阶微分方程例：求方程的通解：0)1('''2xyyx解：设y’=p(x)有,y’’=dp/dxdxxxpdpxpdxdpx221__0)1(分离变量得两边积分得：212111xCdxdyxCp再积分一次：21arcsinCxCy第三节二阶微分方程3．),('''yyfy)('ypy设)(ypdxdy令第三节二阶微分方程dydpypdxdydydpdxdpy)(''方程变为：),(pyfdydpp通解：),(),(cydxdycyp分离变量后再积分，通解：2),(Cxcydy例：p124例6-14、6-15第三节二阶微分方程六、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二阶线性微分方程一般形式'''()()()yPxyQxyfx(scondorderlineardifferentialequstion)若f(x)=0,方程是齐次的；否则是非齐次的。当P(x),Q(x)都是常数时，称为二阶常系数(constantcoefficient)线性微分方程。即：'''()ypyqyfx若f(x)=0,方程是齐次的，否则是非齐次的。第三节二阶微分方程二、二阶线性微分方程解的结构定理若函数)()(21xyxy和是方程'''()()()yPxyQxyfx的两个解，则)()()(2211xyCxyCxy也是方程的解，其中C1C2是任意常数。（线性方程特有的，称为线性迭加原理principleofsuperposition）第三节二阶微分方程Y=C1y1+C2y2是否是方程的通解呢？这个问题要看C1和C2是不是互相独立，即C1和C2能否合并。这又和y1、y2有关。如果y2=ky1即kxyxy)()(12那么11212211)(CyykCCyCyCy表明y实际上只有一个任意常数，Y=C1y1+C2y2就不是方程的通解。第三节二阶微分方程只有当2112,)()(CCxyxy常数时，才彼此独立2211yCyCy才是方程的通解定义：设函数y1(x),y2(x)在区间I上有定义，若存在两个不全为零的常数k1,k2使对一