经济数学三---概率论与数理统计复习2016

和事件}{BABA或的和事件和事件是事件事件BABA至少有一个发生与事件发生发生或事件事件发生事件BABABA的和事件为可列个事件称的和事件；，，，个事件为称,,,,211211nkknnkkAAAAAAAnA积事件}{BABA且的积事件与事件是事件事件BABAABBA可简记为积事件同时发生与事件事件发生事件BABA的积事件为可列个事件称的积事件；，，，个事件为称,,,,211211nkknnkkAAAAAAAnA差事件}{BABA且的差事件与事件称为事件事件BABA不发生发生而事件事件发生事件BABA2E},{TTHHA},{HTHHB}{TTBABA互斥BA的是互不相容的，或互斥与事件则称事件BA不能同时发生和事件事件BABABA对立事件A不发生事件发生事件AAAA称为事件的对立事件或逆事件，记做AAAAAA故在每次试验中事件，中必有一个且仅有一个发生互逆与件的对立事件，所以称事也是AAAAAA即二、概率的性质0)(P)()()()(2121nnAPAPAPAAAP，则有满足若事件BABA,)()()(APBPABP)()(APBP1)(APA，对任一事件两两互不相容，则若事件nAAA,,,21性质1性质2（有限可加性）性质3性质4性质5)(1)(APAPA有对任一事件性质6（加法公式）)()()()(ABPBPAPBAP有、对任意两个事件BA)()()()}({)(ABPAPABAPBAPBAP3.0)(BP6.0)(BAP)(BAPAB例1设、为两事件，且设，求解)()()()(ABPBPAPBAP而)()()()(ABPAPBPBAP所以3.03.06.0)(BAP于是一、条件概率)(ABP记作0)(,APBA两个事件，对发生的概率称为发生的条件下事件在事件BA条件概率)()()(APABPABP即二、乘法公式定理1（乘法公式）)()()(,0)(APABPABPAP则有设0)(,,12121nnAAAPnAAA个事件，且是一般地，若)()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn0)(,BPBA此，若的位置具有对称性，因由于)()()(BPABPBAP)()()(BPBAPABP则由归纳法可得：则由可得定理2（全概率公式）0)(iBP),,2,1(ni)()()()()()()(111iniinnBPBAPBPBAPBPBAPAP，的样本空间为设试验E的一个划分，是的事件为nBBBEA,,,,21）。，（且niBPi,,2,10)(则例8假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存折利率的变化。经分析，该时期内利率下调的概率为60％，利率不变的概率为40％。根据经验，在利率下调时某支股票上涨的概率为80％，在利率不变时，这支股票上涨的概率为40％。求这支股票上涨的概率。解21BB21BB故由全概率公式%64%40%40%80%80)()()()()(2211BPBAPBPBAPAP发生的原因，且是导致，表示“该支股票上涨”这两个事件和“利率不变”分别表示“利率下调”设ABBABB2121,,,定义1相互独立的充要条件为与事件则事件由前面的讨论可知，若BAAP0BPABP|0AP相互独立。与任一事件则事件BA独立。相互独立，简称则称事件式是二事件，如果满足等设BABABPAPABPBA,,,若例2甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，求目标被击中的概率独立表示目标被击中，由于则乙击中目标，分别表示甲设BABABA,,,解ABPBPAPBAPBPAPBPAP6.05.06.05.08.0第一节随机变量定义设X＝X()是定义在样本空间上的实值函数，称X＝X()为随机变量.随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．下图给出样本点与实数X＝X()对应的示意图1e2e3ex定义如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量.),2,1(kxkX取各个可能值的概率，即事件的概率为}{kxX{},1,2,kkPXxpk（1）称（1）式为离散型随机变量X的分布律.一般地，设离散型随机变量X所有可能取的值为第二节离散型随机变量分布律也可以直观地用下面的表格来表示：Xnxxx21kpnppp21由概率的定义，式（1）中的应满足以下条件：kp,,2,1,01kpk。.121kkp。随机变量X的所有取值随机变量X的各个取值所对应的概率例3设随机变量X的分布律P（X=k）=Na，k=1，2，…，N试确定常数a解：NkNkNaNNakxP111)(所以a=1在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数x左边的概率第三节随机变量的分布函数是任意实数，函数是一个随机变量，设xX定义xXPxF)(的分布函数称为X分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴．Xx分布函数具有以下基本性质：1)(0xF1.的不减函数是xxF)(2.1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx，3.)()0(xFxF是右连续的即)(xF4.例1的分布律为设随机变量XXkp-101¼½¼10XPX的分布函数，并求求由概率的有限可加性分布函数为：011104()301411xxFxxx01010(1)(0)0311423.4PXPXPXFFPX解第四节连续型随机变量定义，使对于任意实数有负函数如果存在非的分布函数对于随机变量)(),(xfxFXxttfxFd.)(概率密度的概率密度函数，简称为称其中函数称为连续型随机变量，则XxfX例1设连续型随机变量X具有概率密度1,02,0,.kxxfx其他k确定常数)1(xFX的分布函数求)2(2523)3(XP求20(1)()d1,(1)d1fxxkxx由得(2)X的分布函数为20,01d,0241,2xxFxfttxxxx5335(3)222210.93750.0625PXFF解1/2k解得P57均匀分布具有概率密度设连续型随机变量X,,0,,1其他bxaabxf),(,),(baUXbaX～记为上服从均匀分布在区间则称1d,0)(xxfxf且易知满足连续型随机变量的两个最基本性质指数分布概率密度为设连续型随机变量X,0,0,0,exxxfx的指数分布．服从参数为则称常数为其中X,01ded0)(0xxxfxfx且易知的分布函数为X.,00,e1其他，xxFx满足连续型随机变量的两个最基本性质例3()1/1000,31000X已知某种电子元件寿命单位：h服从参数的指数分布求个这样的元件使用小时至少有一个已损坏的概率。解：的概率密度为X.0,0,0,e100011000xxxfx11000ed1000xxfXP于是各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此3个元件使用1000小时都未损坏的概率为，从而至少有一个已损坏的概率为．3e31eP57正态分布概率密度为设连续型随机变量X22()21()e,2πxfxx).,(~,,,)0(,2NXX记为分布的正态服从参数为则称为常数其中()0()1fxfxdx＋－显然，下面来证明满足连续型随机变量的两个最基本性质表示，即有分别用其概率密度和分布函数。记为服从标准正态分布时称当)(),()1,0(~,,1,0xΦxNXX221()e,2πxx221()ed2πtxxt()1()xx易知引理若2~(,)XN则~(0,1)XYN4例解8168{16}{}(2)0.977344XPXP88{0}{}(2)1(2)0.022744XPXP1288208{1220}{}(3)(1)4440.99870.84130.1574XPXP查表得的分布函数由引理及,X已知求{16},{0}PXPX及{1220}PX)(8,4~2NX第一节二维随机变量定义维随机变量。称为二维随机向量或二则上的两个随机变量是定义在样本空间设),(,,YXYX函数对于任意实数,,yx(,){,}FxyPXxYy或称为随机的分布函数称为二维随机变量,),(YX的联合分布函数。和变量YX分布函数具有以下的基本性质：）（10(,)1Fxy且,y对任意固定的(,)0Fy，对任意固定的x(,)0Fx(,)0F(,)1F的不减函数或是）（yxyxF),(2(0,)(,),(,0)(,)FxyFxyFxyFxy）（3）对任意的（411221212(,),(,),,xyxyxxyy22122111(,)(,)(,)(,)0FxyFxyFxyFxy有只有有限对可能取的值如果二维随机变量),(),(iiyxYX。是二维离散型随机变量则称或可列无限对),(,YX记{,},,1,2,ijijPXxYypij满足下列条件：其中ijp0ijp）（1）（2111ijijp(,)XY并称为二维离散型随机变量的分布律联合分布律XY或称为随机变量和的下表表示：它们的联合分布律可用和离散型随机变量,YX它们的联合分布函数则由下面式子求出：(,)ijijxxyyFxyp例1一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品。每次从中取1件产品检验质量，不放回地抽取，连续两次。如下：和定义随机变量YX10X，第一次取到次品，第一次取到正品10Y，第二次取到次品，第二次取到正品的分布律。试求),(YX解：得：按概率的乘法公式计算及对：可能取的值只有),1,1()0,1(),1,0(),0,0(4),(YX{0,0}{0}{00}PXYPXPYX210.154{0,1}PXY230.354{1,0}PXY320.354{1,1}PXY320.354：的分布律用表格表示为),(YX如果存在的分布函数是设二维随机变量),,(),(YXFYX有使得对于任意的非负的函数yxyxf,),,((,)(,)yxFxyfuvdudv(,)XY则称是连续型二维随机变量XY或称为随机变量和的联合概率密度(,)(,)fxyXY函数称为二维随机变量的概率密度具有以下性质：概率密度),(yxf(,)0fxy）（1(,)1fxydxdy）（2）（3内的概率为）落在（上的区域是平面设GYXxoyG,,{(,)}(,)GPXYGfxydxdy）（4连续，则有在点若),(),(yxyxf2(,)Fxyxy(,)fxy3例具有概率密度设二维随机变量),(YX(,)fxy(2)2,0,00,xyexy其它1(,)2{}FxyPXY试求:()分布函数()解：）（1(,)(,)yxFxyfxydxdy(2)002,0,0