02第二讲：随机过程概念及数字特征

第二讲（1）随机过程概念及其数字特征1.随机过程概念2.随机过程的分布函数和概率密度函数3.随机过程的数字特征(均值、方差、自相关、自协方差、互相关、互协方差）第二章随机过程分析随机信号:某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（带有某种随机性）的信号2.1随机过程概念随机噪声：凡是不能预知的噪声，或简称为噪声。随机过程：随机信号和噪声通过通信系统的过程特征：（1）是时间t的函数。（2）某时刻值出现是随机的。随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其实现（样函数）是时间函数，所有实现（样函数）构成的集合称作随机过程的样函数空间，所有样函数及其统计特性即构成了随机过程，)(1tX)(1tX)(1tX)(2tX)(tXn样本空间一次实现状态1t状态2t)(1tX)(2tX2.2随机过程的一般表述一、随机过程的分布函数和概率密度函数随机过程的一维分布函数：表示概率的一维概率密度函数：随机过程的n维分布函数：的一维概率密度函数：505510150),(),(515510550])([),(:),,,(),(.2),,,(),(.1:]5,5[)(),0[)(111111111111111111112121211121212111xxxxtxFtxfxxxxxtXPtxFttxx，ftxf、ttxx，FtxFtXttX：解二维概率密度函数一维一维、二维分布函数试求上均匀分布在上在随机过程例50551001050),,,(),,,(),,,(),,,(5155100)5)(5(50])(,)([),,,(21212121221212121212212121222121221212121221121212、xx、xxxx、xxxttxxFxttxxFxxttxxFttxxf、xx、xxxx、xxxtXxtXPttxxF),(111txF1x5501),(111txf1x5501011x5501),,,(21212ttxxF1x55051),,,(21212ttxxf)(tXt550)(1tX)(2tX分布函数的物理意义：1。一维：随机变量在任一刻的状态小于或等于某一固定值的概率。2。n维：随机变量在任意n个时刻的状态都分别小于或等于n个固定值的概率。分布函数的性质：)()0()(.3,1)(lim)(,0)(lim)(,1)(0.2,0][)()()(.1122112xFxF，xFxFFxFFxFxxxXxPxFxFxFxx即右连续必然事件不可能事件且是一个不减函数概率密度函数的物理意义：分布函数的导数反应分布函数的变化情况（即单位区间上的概率）。)()()(.5)()()(.4)()(.31)(.20)(.1'1221xfxFxxfxFxFdxxfdxxfxFdxxfxf：xxx处连续则有在若性质二、随机过程的数字特征随机过程的数学期望:是时间函数，表示随机过程所有样本函数的统计平均函数随机过程的方差:)(1tX称为随机过程的方差或均方差。时刻对于均值的偏离程度。它表示随机过程在325301101),()]([)]}([)({)]([0201101),()]([505510150),(),(515510550])([),(:)]([.2)]([.1:]5,5[)(),0[)(15532111222552551111111111111111111111dxdxxdxtxfxtXEtXEtXEtXDdxdxxdxtxxftXExxxxtxFtxfxxxxxtXPtxFtXDtXEtXttX：解方差均值试求上均匀分布在上在随机过程例),(111txF1x5501),(111txf1x5501011x5501),,,(21212ttxxF1x55051),,,(21212ttxxf)(tXt550)(1tX)(2tX335335335自相关函数：自协方差函数：归一化协方差函数—相关系数：若或则称和不相关时相关程度最大为})]({[2tXE时刻偏差的相关程度和在21)(tttX时刻的相关程度和在21)(tttX时相关程度最大为})]({[2tE时相关程度最大为10)()(),(),(0)]()([)]]}([)()]][([)({[),(03002501001010010),,,()]()([),(505,51001050),,,(),(515,5100)5)(5(50])(,)([),,,(:),(.3),(.2),(.1:]5,5[)(),0[)(12121211111112125525555212112212121212121121112112121121212112111121111221121211212121ttttCtttXtXEtXEtXtXEtXEttCdxxdxdxxxxxdxdxxxxxdxdxttxxfxxtXtXEttRxxxxxxxxttxxFtxfxxxxxxxtXxtXPttxxFttttCttRtXttX：XXXXXXXXX解相关系数自协方差自相关试求上均匀分布在上在随机过程例结论：1数学期望和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征，但没有反映随机过程不同时刻之间的内在联系。2自相关函数和自协方差函数是用来衡量同一随机过程在任意两个时刻上的随机变量的相关程度。3相关函数跟和的选择有关，若令则可表示为，即相关函数依赖于起始时刻及时间间隔，是和的函数。1t2t12tt12tt)(),(11RttR1t1t三、两随机过程的联合分布函数和数字特征令:，为两个随机过程1.联合分布函数和概率密度：维随机向量的联合分布函数:和的维联合概率密度:2.3.和相互独立的条件:对于任意（整数）,以及应有：即：或：4.两个随机过程的数字特征:互相关函数:互协方差函数：若：,则称：和不相关。相互独立的，必定不相关，反之，不一定。对于正态随机过程，不相关和独立是等价的。第二讲（2）平稳随机过程1.平稳随机过程的定义及数字特征2.平稳随机过程的各态历经性(遍历性)3.平稳随机过程的相关函数及功率谱密度（维纳—辛钦定理）4.平稳随机过程功率谱密度的性质2.3平稳随机过程一、平稳随机过程的定义:如果对于任意和以及有：则称为严平稳随机过程，或称狭义平稳随机过程。二.严平稳随机过程的数字特征：平稳随机过程的数学期望与时间无关平稳随机过程的方差与时间无关自相关函数和协方差函数只与时间间隔有关若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与有关，则称这个随机过程是狭义平稳的。三.宽平稳随机过程（广义平稳）若的数学期望为常数，且自相关函数只与有关，则称为宽平稳随机过程，或称广义平稳随机过程。严平稳过程一定是宽平稳过程，反之，不一定。但对于正态随机过程两者是等价的。若不加特别说明，平稳过程均指宽平稳过程。四.联合宽平稳随机过程：若，是宽平稳过程，且其中：。则称和为联合宽平稳随机过程。二、平稳随机过程的各态历经性(遍历性)：1.均值遍历过程)]([tXE时间平均统计平均的数学期望(统计平均值)与其样函数的时间平均值以概率为一相等,即:2.自相关遍历过程时间平均自相关)(R统计平均自相关若则称为自相关遍历过程三、宽遍历随机过程均值遍历)]([tXE自相关遍历)(R四、严遍历过程或窄义遍历过程的所有统计平均特性和其样函数所有相应的时间平均特性以概率为一相等遍历过程即指宽遍历过程.1.遍历过程必定是平稳过程,但平稳过程不一定是遍历过程。2.若是平稳高斯过程,且；:则是遍历过程3.对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便可得到其数字特征。求：（1）ξ(t)是否广义平稳？（2）ξ(t)是否各态历经？解：(1)由判定广义平稳的条件可知,如果a(t)为常数,而R(t,t+τ)仅与τ有关,则ξ(t)广义平稳。例：随机相位正弦波的功率谱密度，其中θ是在(0～2π)内均匀分布的随机变量。)sin()(0tt满足广义条件，所以广义平稳。(2)若集平均＝统计平均，则ξ(t)是各态历经的随机过程。所以,随机相位的正弦波是一个各态历经的随机过程。2.3平稳随机过程的相关函数及功率谱密度一、自相关函数的性质R(τ)＝E{ξ(t)ξ(t+τ)平稳随机过程的自相关函数和时间t无关，而只与时间间隔τ有关，即1.R(0)为ξ(t)的均方值(平均功率)自相关函数在τ=0处的数值等于该过程的平均功率(包括直流功率和交流功率)。对偶性R(τ)＝R(－τ)2.即自相关函数是τ的偶函数。当τ＝0时,自相关函数取最大值，即R(0)≥R(τ)3.在时间间隔很大的时候,可将二者看成是相互独立的。5.4.)]([2tE直流平均功率交流平均功率)0(R)(R2)(R0二、功率谱密度付氏变换（能量谱密度）沟通了确定信号时域和频域的关系，随机过程在频率域中要讨论功率谱密度，主要原因有二：dtetfFtj)()(1.对于随机过程来说，它由许许多多个样本函数来构成,所以无法求其付氏变换，可以说,随机过程不存在付氏变换。2.随机过程属于功率信号而不属于能量信号，所以讨论功率谱密度。对于任意的功率信号f(t)的功率谱为:随机过程ξ(t)有许许多多次实现,其功率谱密度可以看作是每一个样本函数的功率谱密度的统计平均（即数学期望）。整个随机过程的平均功率谱密度为：该随机过程的平均功率为：22022)()(TtTtTtTtftfT或设f(t)一次实现的截断函数为，的付氏变换为，则该样本函数的功率谱密度为：)(TF)(tfT)(tfT三、平稳随机过程的功率谱密度和相关函数的关系（维纳—辛钦定理）维纳—辛钦定理:平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度互为傅里叶变换，即：)()(PR22')(22'22')(22'2222''2222''22*22''*2''''')(1)()(1)()(1)()(1)()(1])()([])([TTttjTTTTttjTTTTTTtjtjTTTTtjTtjTTTTTtjTtjTTTTdtdtettRTdtdtettTEdtetdtetTEdtetdtetTEdtetdtetTETFFETFEdePRdeRPjjjj)(21)()()(证明：TTjTTjTjTTTjTjTjTTTjTTjtTtTTTTttjTTTdTeRTFEdTeRdTeRTddteRT：dTeRdTeRTddteRT：。tdtdeRTTFEtT，Tt；tT，Ttdtd，t，ttdtdtettRTTFE)1()(])([)1()()()(1)(10.2)1()()()(1)(10.1)()(1])([2222)()(1])([200022'00022''22')(222''''22')(22'2'''故时当时当后先交换积分次序时当时当则为常数积分先对令)()(])([)1()(])([22lim