上海八年级下平面向量知识点总结

平面向量●重难点突破1.向量加法的运算及其几何意义。2.对向量加法定义的理解。3.向量的减法运算及其几何意义。4.对向量减法定义的理解。5.实数与向量积的意义。6.实数与向量积的运算律。7.两个向量共线的等价条件及其运用。8.对向量共线的等价条件的理解运用。●每课一记一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行：(1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；(2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。二、1.向量的加法定义向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2.向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。（2）平行四边形法则向量加法的平行四边形法则如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。3.向量a，b的加法也满足交换律和结合律：①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。④如图5，作AB=a，AD=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a。因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a。如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c，AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题。四、向量也有减法运算。由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。于是-(-a)=a。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。1.平行四边形法则图1如图1，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b。又b+BC=a，所以BC=a-b。由此，我们得到a-b的作图方法。图22.三角形法则如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，记作-a。（2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。五、我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。由(1)可知，λ=0时，λa=0。根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa。共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等。数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量a、b，以及任意实数λ、1、2，恒有λ(1a±2b)=λ1a±λ2b。●经典例题例1化简：(1)BC+AB(2)DB+CD+BC(3)AB+DF+CD+BC+FA解：(1)BC+AB=AB+BC=AC(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。例2若AC=a+b，DB=a-b①当a.b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？②当a.b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？③当a.b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线。由平行四边形法则，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b。由此问题就可转换为：①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a.b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(a.b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题。