运筹学第三章3.1运输问题模型与性质new

第三章特殊的线性规划——运输问题&模型及其特点&求解思路及相关理论&求解方法——表上作业法&运输问题的推广产销不平衡的运输问题转运问题3.1运输问题模型与性质一、运输问题的数学模型1、运输问题的一般提法：某种物资有若干产地和销地，现在需要把这种物资从各个产地运到各个销地，产量总数等于销量总数。已知各产地的产量和各销地的销量以及各产地到各销地的单位运价（或运距），问应如何组织调运，才能使总运费（或总运输量）最省？单位根据具体问题选择确定。表3-1有关信息单位运价销或运距地产地B1B2…Bn产量A1A2┆Amc11c12…c1nc21c22…c2n………cm1cm2…cmna1a2┆am销量b1b2…bnnjjmiiba112、运输问题的数学模型设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量（i=1，…m；j=1，…n），由于从Ai运出的物资总量应等于Ai的产量ai，因此xij应满足：miaxnjiij,,2,11同理，运到Bj的物资总量应该等于Bj的销量bj，所以xij还应满足：总运费为：mijijnjbx1,,1minjijijxcz11运输问题的数学模型njmixnjbxmiaxtsxcMinZijmijijnjiijminjijij,,1;,1,0,,1,,1..1111（3-1）minjjiba11产销平衡条件二、运输问题的特点与性质1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构写出式（3-1）的系数矩阵A，形式如下：mnmmnnxxxxxxxxx,,,,,,,,,;,,,212222111211111111111111111111m行n行矩阵的元素均为1或0；每一列只有两个元素为1，其余元素均为0；列向量Pij=(0,…，0，1，0，…,0,1,0,…0)T，其中两个元素1分别处于第i行和第m+j行。将该矩阵分块，特点是：前m行构成m个m×n阶矩阵，而且第k个矩阵只有第k行元素全为1，其余元素全为0（k=1，…，m）；后n行构成m个n阶单位阵。2.运输问题的基变量总数是m+n-1写出增广矩阵nmbbbaaaA1111111111111111112121mnmmnnxxxxxxxxx,,,,,,,,,;,,,212222111211证明系数矩阵A及其增广矩阵的秩都是m+n-1前m行相加之和减去后n行相加之和结果是零向量，说明m+n个行向量线性相关，因此的秩小于m+n；？AA因此的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于A中，故A的秩也等于m+n-1由的第二至m+n行和前n列及对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D非奇异；？A13121,,,mxxxnmbbbaaaA1111111111111111112121mnmmnnxxxxxxxxx,,,,,,,,,;,,,21222211121101011111111111111mD）（按第一列展开可以证明：m+n个约束方程中的任意m+n-1个都是线性无关的。定义3.1凡是能排成(3-4)或(3-5)形式的变量集合称为一个闭回路,并称式中变量为该闭回路的顶点；其中互不相同,互不相同。132222111,,,,,jijijijijijisssxxxxxxsssjijijijijijixxxxxx123221211,,,,,siii,,,21sjjj,,,213.m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它们不构成闭回路。X11X13X21X24X33B1B2B3B4A1X12X14A2X22X23A3X31X32X34例3-1设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地Ai到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路在表中的表示法——用折线连接起来的顶点变量。},,,,,{212434331311xxxxxx三、运输问题的求解方法1、单纯形法（为什么？）2、表上作业法由于问题的特殊形式而采用的更简洁、更方便的方法3.2运输问题的表上作业法一、表上作业法的基本思想是:先设法给出一个初始方案,然后根据确定的判别准则对初始方案进行检查、调整、改进，直至求出最优方案，如图3-1所示。表上作业法和单纯形法的求解思想完全一致，但是具体作法更加简捷。确定初始方案(初始基本可行解)改进调整（换基迭代）否判定是否最优？是结束最优方案图3-1运输问题求解思路图二、初始方案的确定1、作业表（产销平衡表）初始方案就是初始基本可行解。将运输问题的有关信息表和决策变量——调运量结合在一起构成“作业表”（产销平衡表）。表3-3是两个产地、三个销地的运输问题作业表。调销地运量产地B1B2B3产量A1c11X11c12X12c13X13a1A2c21X21c22X22c23X23a2销量b1b2b33121jjiiba表3-3运输问题作业表（产销平衡表）其中xij是决策变量，表示待确定的从第i个产地到第j个销地的调运量，cij为从第i个产地到第j个销地的单位运价或运距。2、确定初始方案的步骤：（1）选择一个xij，令xij=min{ai，bj}=个销地需求满足第个销地第个产地的产量全部运到第jjbjiia将具体数值填入xij在表中的位置；（2）调整产销剩余数量：从ai和bj中分别减去xij的值，若ai-xij=0，则划去产地Ai所在的行，即该产地产量已全部运出无剩余，而销地Bj尚有需求缺口bj-ai；若bj-xij=0，则划去销地Bj所在的列，说明该销地需求已得到满足，而产地Ai尚有存余量ai-bj；（3）当作业表中所有的行或列均被划去，说明所有的产量均已运到各个销地，需求全部满足，xij的取值构成初始方案。否则，在作业表剩余的格子中选择下一个决策变量，返回步骤（2）。按照上述步骤产生的一组变量必定不构成闭回路，其取值非负，且总数是m+n-1个，因此构成运输问题的基本可行解。对xij的选择采用不同的规则就形成各种不同的方法，常用的方法有最小元素法和伏格尔法。下面通过具体实例分别介绍。3、举例例3-2甲、乙两个煤矿供应A、B、C三个城市用煤，各煤矿产量及各城市需煤量、各煤矿到各城市的运输距离见表3-4，求使总运输量最少的调运方案。表3-4例3-2有关信息表450200150100日销量（需求量）250756580乙2001007090甲日产量（供应量）CBA运距城市煤矿例3-2的数学模型;3,2,1;2,1,0200150100250200..7565801007090min231322122111232221131211232221131211jixxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxZij需求约束日产量约束总运输量使用最小元素法求出初始方案（1）最小元素法基本思想是“就近供应”：即从单位运价表或运距表中的最小元素开始确定供销关系，然后次小，一直到给出初始基可行解为止。调销地运量产地B1B2B3产量A190X1170X12100X13200A280X2165X2275X23250销量100150200450用最小元素法确定例3-2初始调运方案150100100100100100100得到初始调运方案为：x11=100，x13=100，x22=150，x23=100最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运费(运距)。（2）伏格尔法它的基本思想是：考虑次小运费(运距)，这就有一个差额。因而对差额最大处，就应当采用最小运费(运距)调运。找最大差额的最小运费用伏格尔法确定例3-2初始调运方案调销地运产地量ABC日产量(吨)行差额甲90X1170X12100X1320020乙80X2165X2275X2325010日销量(吨)100150200450列差额10525200501515050505050最小次小差额得到初始调运方案为：x11=50，x12=150，x21=50，x23=200三、最优性检验检查当前调运方案是不是最优方案的过程就是最优性检验。检查的方法：计算非基变量的检验数未填上数值的格(空格)空格的检验数若全部大于等于零，则该方案就是最优调运方案，否则就应进行调整。1、闭回路法以确定初始调运方案的作业表为基础，以一个非基变量作为起始顶点，寻求闭回路。闭回路的特点：除了起始顶点是非基变量外，其他顶点均为基变量（对应着填上数值的格）。可以证明，如果对闭回路的方向不加区别，对于每一个非基变量而言，以其为起点的闭回路存在且唯一。约定:起始顶点为非基变量，记为偶数次顶点，其它顶点从1开始顺次排列，那么，该非基变量xij的检验数：现在，用最小元素法确定例3-2初始调运方案的基础上，计算非基变量X12的检验数：ij=(闭回路上偶数次顶点运距或运价之和)－(闭回路上奇数次顶点运距或运价之和)(3-6)调销地运量产地B1B2B3产量A190X1170X12100X13200A280X2165X2275X23250销量100150200450100100100150例3-2初始调运方案中以X12(X21)为起点的闭回路非基变量X12的检验数：非基变量X21的检验数：=（c12+c23）-（c13+c22）=70+75-(100+65)=-20，12=（c21+c13）-（c11+c23）=80+100-（90+75）=15。21经济含义在保持产销平衡的条件下，该非基变量增加一个单位运量而成为基变量时目标函数值的变化量。2、位势法以例3-2初始调运方案为例，设置位势变量和，在初始调运方案表的基础上增加一行和一列（见下页表格）。然后构造下面的方程组：iujv7565100902332222213311111cvucvucvucvu（3-7）例3-2初始调运方案位势变量对应表调销地运量产地B1B2B3产量A190X1170X12100X13200A280X2165X2275X23250销量100150200450位势变量vjv1v2v3100100100150位势变量uiu1u2方程组的特点：方程个数是m+n-1=2+3-1=4个，位势变量共有m+n=2+3=5个，通常称ui为第i行的位势，称vj为第j列的位势；初始方案的每一个基变量xij对应一个方程—-—所在行和列对应的位势变量之和等于该基变量对应的运距（或运价）：ui+vj=cij；方程组恰有一个自由变量，可以证明方程组中任意一个变量均可取作自由变量。给定自由变量一个值,解方程组式(3-7)，即可求得位势变量的一组值，根据式(3-6)结合方程组(3-7)，则计算非基变量xij检验数的公式σij=cij-（ui+vj）（3-8）在式(3-7)中,令u1=0,则可解得v1=90,v3=100,u2=-25,v2=90，σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15与前面用闭回路法求得的结果相同。四、方案调整当至少有一个非基变量的检验数是负值时，说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应进行调整。若检验数σij小于零，则首先在作业表上以xij为起始变量作出闭回路,并求出调整量ε:ijε=min{该闭回路中奇数次顶点调运量xij}调销地运量产地B1B2B3产量A190X1170X12100X13200A280X2165X2275X23250销量100150200450100100100150++--上例中σ12=-20，画出以x12为起始变量的闭回路计算调整量：ε=Min（