(喻)概率统计(2)

1、第二章一维随机变量及其分布第一节随机变量第二节离散型随机变量第三节随机变量的分布函数第四节连续型随机变量及其概率密度第五节随机变量的函数的分布概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念．1.为什么引入随机变量?引言随机变量的引入2.随机变量的引入实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.S={红色、白色}非数量将S数量化?可采用下列方法S红色白色)(eXR10即有X(红色)=1,.,0,,1)(白色红色eeeXX(白色)=0.这样便将非数量的S={红色，白色}数量化了.实例2抛掷骰子,观察出现的点数.,3)3(,2)2(,1)1(XXX,6)6(,5)5(,4)4(XXX).6,5,4,3,2,1(,61}{iiXPS={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换且有eeX)(则有第一节随机变量定义设X＝X(w)是定义在样本空间W上的实值函数。

2、，称X＝X(w)为随机变量.随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．下图给出样本点w与实数X＝X(w)对应的示意图W1e2e3ex随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).说明(1)随机变量与普通的函数不同随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.(3)随机变量与随机事件的关系例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以把可能的身高看作X，则X是一个随机变量然后我们可以提出关于X的各种问题.如“X1.7”表示学生的身高超过1.7米事件；P(1.5X1.7)=?P(X≤1.5)表示计算学生的身高不超过1.5米的概率；可见，随机变量这个概念实际上是包容了比随机事件更广的概念.也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随。

3、机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样.例3一射手向一目标射击，记X表示直到命中目例1掷一枚骰子，用X表示出现的点数。例2观察某储蓄所一天的储蓄额，用X表示X是一个随机变量。4X表示点数不超过4的事件。例如X是一个随机变量。4X表示射击的次数为4的事件。例如X是一个随机变量。一天的储蓄额。标为止所需要的射击次数。aX表示该天的储蓄额为的事件。例如a解：分析当0.15X1000×0.1时，报童赔钱故{报童赔钱}{X666}{报童赔钱}{卖出的报纸钱不够成本}例4一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.3.随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X的可能值是:随机变量连续型实例11,2,3,4,5,6.非离散型其它实例2若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X的可能值是:.,3,2,1实例3设某射手每次射击打中目。

4、标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”,则X的所有可能取值为:.30,,3,2,1,0实例2随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误差”.则X的取值范围为(a,b).实例1随机变量X为“灯泡的寿命”.).,0[(2)连续型随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为三、小结2.随机变量的分类:离散型、连续型.1.概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，因此为了方便有力的研究随机现象，就需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机事件用数字表示时，就建立起了随机变量的概念．因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数．第二节离散型随机变量及其概率分布对于离散型随机变量，为了描述它的取值规律，我们不仅需要知道该随机变量的所有可能取值，而且还应知道其取每个值的概率.这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2随机变量X取每个值的概率为101)0(3533CCXP106)1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP。

5、例1且311iiXP)(说明;,2,1,0)1(kpk.1)2(1kkp..,2,1,}{,}{,),,2,1(的分布律称此为离散型随机变量为的概率即事件取各个可能值的概率所有可能取的值为设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk定义用这两条性质判断一个函数是否是概率函数一、离散型随机变量及其概率分布2离散型随机变量的概率分布表示形式（1）列表法（2）图示法（3）公式法2,1,0,)(35233kCCCkXPkk再看例1任取3个球X为取到的白球数X可能取的值是0,1,2Pk0.10.30.6k012X~p210X101106103列表法也可表示为nnpppxxxX2121~Xkpnxxx21nppp21解:依据概率函数的性质:kkXP1)(P(X=k)≥0,1!0aekakka≥0从中解得ea0kkke!这里用到了常见的幂级数展开式例2.设随机变量X的概率函数为：,!)(kakXPkk=0,1,2,…,试确定常数a.0解：X的所有可能取值为0，1，2，3.“X=。

6、0”表示第一次取到正品43)0(11219CCXP“X=1”表示第一次取到废品，第二次取到正品，4491112)1(1913CCXP例3：一批零件中有9个正品和3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果取出的是废品不再放回，而再取一个零件，直到取到正品为止，求在取得正品以前已取出的废品数X的分布律。“X=2”表示前第两次取到废品，第三次取到正品，220910111223)2(19CXP“X=3”表示前第三次取到废品，第四次取到正品，22019101112123)3(19CXPX0123P3991444220220关于分布律的说明：若已知一个离散型随机变量X的概率分布：Xkpnxxx21nppp21则可以求得X所生成的任何事件的概率：()kkxIPXIp特别地，(){}kkkkaxbaxbPaXbPXxp至少有一件废品的概率为多少？1(1)1(0)4PXPX至多有一件废品的概率为多少？42(1)(0)(1)44PXPXPX例如在上例中例4袋中有4个黑球，3个白。

7、球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用X表示所得的分数，求随机变量X的概率分布。解：依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4“X=0”表示取到两个球都是黑球；61)0(2924CCXP“X=1”表示取到两个球一个是黑球，一个是白球；31)1(291314CCCXP3611)2(29231214CCCCXP“X=2”表示取到两个球一个是黑球，一个是红“X=3”表示取到两个球一个是红球，一个是白球；61)3(291213CCCXP361)4(2922CCXP“X=4”表示取到两个球都是红球。球，或者两个都是白球；所以X的概率分布为：X01234P1111113636636二、常见离散型随机变量的概率分布设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为Xkp0p11p则称X服从(0—1)分布或两点分布.1.两点分布或(0—1)分布实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0—1)分布.,1)(eXX,0,正面当e.反面当eXkp012121其分布律为实例2200件产品。

8、中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,0,1X取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.Xkp0120019020010两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明：两点分布随机数演示将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这n次试验是相互独立的,或称为n次重复独立试验.(1)重复独立试验2.二项分布(2)n重伯努利试验.1)(),10()(.,:pAPppAPEAAE此时　　设为伯努利试验则称及只有两个可能结果　　设试验伯努利资料将试验E独立重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。例6设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.我们来求X的概率分布。分析：显然这是一个4重贝努力实验。X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.4,3,2,1,0,)1(}{44kppCkX。

9、PkkkX的概率函数是：男女X=0X=1X=2X=3X=4X所有可能取值为0,1,2,3,4.用X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则nkppCkXPknkkn,,1,0,)1()(1)(0nkkXP（2）不难验证：0)(kXP（1）称随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1X服从0—1分布007125.0)95.0()05.0()2(223CXP例7已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~B(3,0.05)，解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是3重贝努里试验.例8：一条自动生产线上产品的次品率为0.2，假使各件产品是否为次品是相互独立的，连续生产10件，求：①10件产品中次品数的概率分布。②次品率不超过10%的概率。③已经发现一件次品的条件下，求次品率不超过10%的概率。解：设X表示10件产。

10、品中的次品数，)1()0()1()1.010(XPXPXPXP38.027.011.0X012345678910P0.110.270.30.20.090.0300000其X的概率分布为则X～B(10,0.2),二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.称k为二项分布的最可能值。n=13,p=0.5Pkn....0不是整数当为整数当或pnpnpnpnpnk)1(])1[()1(1)1()1(其中[x]表示不超过x的最大整数部分。对于固定n及p，当k增加时，概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少.碰运气能否通过英语四级考试•大学英语四级考试，你们懂的，若按100分制来计算分数，除写作部分15分外，多达85分的选择题，每题1分，某学生抱有侥幸心理，全靠运气能通过考试吗？算算概率。•小概率事件原理认为：在一次试验中，小概率事件不发生！但是，如果不断重复试验，小概率事件迟早会发生！为什么呢？•于是，我们明白了一首歌：伤心总是难免的。既然伤心总。