第七章 线性变换 习题答案

-1-第七章线性变换3．在[]Px中，()()fxfxA，()()fxxfxB，证明：ABBA=E．『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．证明任取()[]fxPx，则有()()()()(())(())fxfxfxxfxfx=ABBAABBAAB(())()()()xfxxfxfxfxE，于是ABBA=E．4．设,AB是线性变换，如果ABBA=E，证明：1,1kkkkkABBAA．『解题提示』利用数学归纳法进行证明．证明当2k时，由于ABBA=E，可得22()()2ABBAAABBAABBAAA，因此结论成立．假设当ks时结论成立，即1ssssABBAA．那么，当1ks时，有11()()(1)ssssssssssABBAAABBAABBAAAAA，即对1ks结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1k结论都成立．『特别提醒』由0AE可知，结论对1k也成立．5．证明：可逆映射是双射．『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用1A作用左右两边，得到11()()AAAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1VA，使得1()AAA，即A是满射．于是A是双射．-2-『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构．6．设12,,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当12,,,nAAA线性无关．证法1若A是可逆的线性变换，设1122nnkkk0AAA，即1122()nnkkk0A．而根据上一题结论可知A是单射，故必有1122nnkkk0，又由于12,,,n是线性无关的，因此120nkkk．从而12,,,nAAA线性无关．反之，若12,,,nAAA是线性无关的，那么12,,,nAAA也是V的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得()iiBA，1,2,,in．显然()iiBA，()iiABAA，1,2,,in．再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的．证法2设A在基12,,,n下的矩阵为A，即121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnAAAAA．由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆．因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而12,,,nAAA也是V的一组基，即是线性无关的．反之，如果12,,,nAAA是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基12,,,n到12,,,nAAA的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换．『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆．9．设三维线性空间V上的线性变换A在基123,,下的矩阵为111213212223313233aaaaaaaaaA．1）求A在基321,,下的矩阵；-3-2）求A在基123,,k下的矩阵，其中kP且0k；3）求A在基1223,,下的矩阵．『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．解1）由于3131232333333232131aaaaaaA，2121222323323222121aaaaaaA，1111212313313212111aaaaaaA．故A在基321,,下的矩阵为3332311232221131211aaaaaaaaaB．2）由于11112123131112123131aaaaakakA，2121222323121222323kkakakakaakkaA，31312323331312323331aaaaakakA．故A在基123,,k下的矩阵为111213221222331323311akaaaaakkakaaB．3）由于从123,,到1223,,的过渡矩阵为100110001X，故A在基1223,,下的矩阵为-4-1111213111212133212223211122122212231331323331323233100100110110001001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaB．『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．10．设A是线性空间V上的线性变换，如果1k0A，但k0A，求证：1,,,kAA（0k）线性无关．证明由于k0A，故对于任意的非负整数i，都有()kiik0AAA．当0k时，设112knxxx0AA，用1kA作用于上式，得11kx0A，但1k0A，因此10x．于是12knxx0AA，再用2kA作用上式，同样得到20x．依此下去，可得120kxxx．从而1,,,kAA线性无关．16．证明：n21与niii21相似，其中niii,,,21是1,2,,n的一个排列．『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．证法1设V是一个n维线性空间，且12,,,n是V的一组基．另外，记12nA，12niiiB．-5-于是，在基12,,,n下，矩阵A对应V的一个线性变换A，即12121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnAA．从而iiiA，1,2,,in．又因为12,,,niii也是V的一组基，且12121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnniiiiiiiiiiiiBA．故A与B相似．证法２设12nA与12niiiB．对A交换,ij两行，再交换,ij两列，相当于对A左乘和右乘初等矩阵1(,)(,)ijijPP和(,)ijP，而1(,)(,)ijijPAP即为将A中的i和j交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A的主对角线上的元素12,,,n变成12,,,niii，这也相当于存在一系列初等矩阵12,,,sQQQ，使得1112112ssQQQAQQQB，令12sQQQQ，则有1QAQB，即A与B相似．『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．17．如果A可逆，证明AB与BA相似．证明由于A可逆，故A1存在．于是11()()AABAAABABA，-6-因此，根据相似的定义可知AB与BA相似．19．求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量．已知A在一组基下的矩阵为：1）3452A；4）563101121A；5）001010100A．解1）设A在给定基1,2下的矩阵为A．由于A的特征多项式为234|514(7)(2)52EA，故A的特征值为17，22．当17时，方程组1()0EAX，即为1212440,550.xxxx解得它的基础解系为11．从而A的属于特征值17的全部特征向量为112kk，其中k为任意非零常数．当22时，方程组2()0EAX，即为1212540,540.xxxx解得它的基础解系为54，从而A的属于特征值22的全部特征响向量为21245ll，其中l为任意非零常数．4）设A在给定基123,,下的矩阵为A，由于A的特征多项式为56311(2)(13)(13)121EA，故A的特征值为12，213，313．-7-当12时,方程组1()0EAX=，即为1231231233630,20,230.xxxxxxxxx求得其基础解系为210，故A的属于特征值2的全部特征向量为111122kk其中1k为任意非零常数．当213时,方程组2()0EAX=，即为123123123(43)630,(13)0,2(23)0.xxxxxxxxx求得其基础解系为3213，故A的属于特征值13的全部特征向量为22122233(23)kkk其中2k为任意非零常数．当313时，方程组3()0EAX=，即为123123123(43)630,(13)0,2(23)0.xxxxxxxxx求得其基础解系为3213，故A的属于特征值13的全部特征向量为33132333(23)kkk其中3k为任意非零常数．-8-5）设A在给定基123,,下的矩阵为A，由于A的特征多项式为201010(1)(1)10EA，故A的特征值为11（二重），21．当11时，方程组1()0EAX=，即为13130,0.xxxx求得其基础解系为,101010，故A的属于特征值1的全部特征向量为1112213kkk其中12,kk为任意不全为零的常数．当21时，方程组2()0EAX=，即为132130,20,0.xxxxx求得其基础解系为101，故A的属于特征值1的全部特征向量为213ll，其中l为任意非零常数．『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．24．1）设21,是线性变换A的两个不同特征值，12,是分别属于21,的特征向量，证明：12不是A的特征向量；2）证明：如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换．-9-证明1）反证法．假设12是A属于特征值的特征向量，即121212()()A．而由题设可知111222,AA，且12，故12121122()AAA．比较两个等式，得到1122()()0．再根据12,是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此021，即12．这与12矛盾．所以12不是A的特征向量．2）设12,,,n是V的一组基，