吴赣昌编_概率论与数理统计_第4章

第四章随机变量的数字特征、极限定理数学期望方差协方差和相关系数大数定律与中心极限定理4.1数学期望一、离散型随机变量的数学期望例4.1甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如下：环数8910次数301060环数8910次数205030甲乙试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？甲平均射中的环数为：乙平均射中的环数为：(8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)(8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。在例4.1中，30/100=0.3、10/100=0.1、60/100=0.6等，是事件(X=k)在100次试验中发生的频率(X为命中的环数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件(X=k)在一次试验中发生的概率pk。上述平均环数的计算可表示为我们称之为随机变量X的数学期望，或均值。108kkkp数学期望——描述随机变量取值的平均特征定义4.1设X是离散型随机变量，其分布律为X~P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n，…如果级数1iiipx绝对收敛，并称级数1iiipx的和为随机变量X的数学期望，记作则称X的数学期望存在，E(X)，即1)(iiipxXE则称随机变量X的数学期望不存在。注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数绝对收敛。若级数1iiipx1iiipx不绝对收敛，例如，设离散型随机变量X的分布律为X-2-1012Pk1/162/163/162/168/1687168216211630162)1(161)2()(XE则X的数学期望为例4.2掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。2761)(61iiXE解X的分布律为X123456Pk1/61/61/61/61/61/6例4.4设X取kxkkk2)1((k=1,2,…)对应的概率为kxkp21，证明E(X)不存在。证明021kxkp12111kkkxkp且1111212kkkkkxkkkpxk但级数发散所以E(X)不存在，但级数2ln)1(212)1(111kkkkkkkxkkkpxk(交错级数满足Leibniz条件)(收敛)要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。定义4.2设X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),.)()(dxxxfXE二、连续型随机变量的数学期望若积分dxxxf)(绝对收敛，则称X的数学期望存在，且称积分为随机变量X的数学期望，记为E(X)dxxxf)(即数学期望简称期望或均值。例6：(,)()XUabEX。设，求1()0axbbaXfx－解：的概率密度为：其他X的数学期望为：()()EXxfxdxbaxdxba2ab(,)ab即数学期望位于区间的中点几种重要分布的数学期望1)(,5)(),,(~42)(),,(~3)(),(~2)(),,(~12XEXXENXbaXEbaUXXEPXnpXEpnbX则的指数分布服从参数为、设则、设则、设则、设则、设三、随机变量函数的数学期望定理4.1设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g(•)为连续函数)(1)设X为离散型随机变量，其分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,…若级数1)(iiipxg绝对收敛，则Y的数学期望存在，且1)())(()(iiipxgXgEYE(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，dxxfxg)()(若积分绝对收敛，则Y的数学期望存在，且dxxfxgXgEYE)()())(()(此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的期望时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。推广：设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(•,•)是连续函数。(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…则当绝对收敛时，Z的数学期望存在，且11(,)ijijijgxyp11),()),(()(ijijjipyxgYXgEZE(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛时，Z的数学期望存在，且dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()),(()(二维随机变量的数学期望离散r.v.ijjiiyxpxXE),()(ijjijyxpyYE),()(连续r.v.dxdyyxxfXE),()(dxdyyxyfYE),()(iiXixpxXE)()(jjYjypyYE)()(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(例4.7设随机变量X~B(n,p)，XeY2求E(Y)解X~B(n,p)，分布律为nkqpCkXPknkkn,2,1,0,)(nkknkknkXqpCeeEYE022)()(nkknkknqpeC02)(nqpe)(2其中p+q=1例4.8设二维随机变量(X,Y)具有概率密度设Z=XY，试求Z的数学期望。解21501(,)0xyxyfxy其它dxdyyxfxyXYEZE),()()(2815151002dyydxxxyyO1xy1y=x1、设C是常数，则E(C)=C;2、设C是常数，X为随机变量，则E(CX)=CE(X);四.数学期望的性质3、设X,Y为任意两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y);推广：Xi为随机变量，Ci为常数，i=1,2,…,nE(C1X1+C2X2+…+CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+…+CnE(Xn)4、若X，Y是相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)。推广：X1,X2,…,Xn相互独立，则E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)反之不然，即由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出它们独立。例1：已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱中，求乙箱中次品件数的数学期望。例2：已知0，其它求随机变量的数学期望E(X).例3：设随机变量X的分布列为：求：X-202P0.40.30.3例4：设随机变量X的密度函数：f(x)=0,其它对随机变量X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求EY例5：设（X,Y）分布列为：(1)求E(X),E(Y);(2)设Z=X/Y，求E(Z);(3)设，求E(Z)XY123-10.20.1000.100.310.10.10.12ZXY例6：设（X,Y）的密度函数：f(x,y)=0其它求：E(X),E(Y),E(XY),212,01yyx22EXY4.2方差一、方差的概念例4.13甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10mm，公差为0.2mm，即直径在9.8mm到10.2mm的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：(mm)甲9.89.910.010.010.110.2乙9.09.29.410.610.811.0易知，甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm，但两组的质量显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程度不同。甲组离散程度小，质量较稳定，乙组的离散程度大，质量不稳定。为衡量一个随机变量X关于均值的离散程度，可用|X-EX|的均值来表示，称为X的绝对离差，用E|X-EX|记，这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值的均值不易计算，常用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度。定义设X是随机变量，若E{[X-EX]2}存在，则称E{[X-EX]2}为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(X)，即D(X)=E{[X-EX]2}在应用上，常用与随机变量X具有相同量纲的量，称为随机变量X的均方差或标准差。)()(XDX方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。由方差的定义可知，D(X)≥0。当X为离散型随机变量，且分布律为P(X=xk)=pk时，则12)()(kkkpXExXD当X为连续型随机变量时，且密度函数为f(x)，则2()()()DXxEXfxdx在实际计算中，通常使用如下公式222)()(2)()(XEXXEXEXEXEXD22)()()(2)(XEXEXEXE22)()(XEXE即方差是“随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方”。例4.14已知随机变量X的分布律如下，求D(X)。X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16解数学期望E(X)=7/8，25168216211630162)1(161)2()(222222XE641116449160)87(25)()()(222EXXEXD例4.15设随机变量110~()1010xxXfxxx其它求D(X)解0)1()1()(0110dxxxdxxxXE61)1()1()(0110222dxxxdxxxXE61)()()(22EXXEXD二、方差的性质1、设C是常数，则D(C)=0，且D(X+C)=D(X);2、设C是常数，X为随机变量，则D(CX)=C2D(X);3、设X,Y为任意两个随机变量，则有()()()2[(())(()]DXYDXDYEXEXYEY特别地，当X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)推论：若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)又X,Y相互独立，C1，C2为常数，则D(C1X+C2Y)=C12D(X)+C22D(Y)特别注意：D(X-Y)=D(X)+D(Y)(当X,Y独立)4、D(X)=0的充分必要条件是X以概率1为常数，即P(X=C)=14.3几个重要分布的数学期望和方差一、0—1分布X~B(1,p)，P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=qE(X)=1×p+0×(1-p)=p，E(X2)=12×p+02×(1-p)=pD(X)=E(X2)-(E(X))2=p-p2=pq=p(1-p)二、二项分布X~B(n,p)分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,…,nnkkXpkXE0)()(nkknkknqpCk01!(1)!()!nknkknpqknk11(1)!(1)![(1)(1)]!nknkknnppqknknkknkknqpCnp1)1()1(111101111nttntknktqpCpnnpqppnn1)(nkknkqpknknk0)!(!!22)()()(EXXEXD2)()()1(EXXEXXEnkknkknqpCkkXXE0)1()1(2)()1(EXXXXE22)()1(npnppnnnpqnpnp2其中nkknkqpknknkk0)!(