第7章 机械信号的时频域处理方法及应用

第7章机械信号的时频域处理方法及应用1、概述对一个给定的信号，如，我们可以用许多的方法来描述它，如的函数表达式，通过傅立叶变换所得到的的频谱，即，再如的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。)(tx)(tx)(tx)(tx)(jX时间和频率是描述信号行为的两个最重要的物理量信号是变化着的，变化着的信号构成了我们周围五彩斑斓的世界。此处所说的“变化”，一是指信号的幅度随时间变化，二是指信号的频率内容随时间变化。幅度不变的信号是“直流”信号，而频率内容不变的信号是由单频率信号，或多频率信号所组成的信号，如正弦波、方波、三角波等。不论是“直流”信号还是正弦类信号都只携带着最简单的信息。法国工程师傅立叶于1807年提出了傅立叶级数的概念，即任一周期信号可分解为复正弦信号的迭加。1822年，傅立叶又提出了非周期信号分解的概念，这就是傅立叶变换。经过100多年的发展，傅立叶变换不但已经形成了一个重要的数学分支，同时也在信号分析与信号处理中起到了重要的作用。正是由于傅立叶变换，原本对人们比较抽象的“频率”概念才变得具体化。给定了信号的函数表达式，或随变化的曲线，我们可以由此得出在任一时刻处该信号的幅值。如果想要了解该信号的频率成分，即“在××Hz处频率分量的大小”，则可通过傅立叶变换来实现。对给定的某一个频率，为求得该频率处的傅氏变换，上式对的积分需要从到，即需要整个的“知识”。是信号在整个积分区间的时间范围内所具有的频率特征的平均表示。因此，如果我们想知道在某一个特定时间，如，所对应的频率是多少，或对某一个特定的频率，如，所对应的时间是多少，那么傅立叶变换则无能为力。0t0dtetxXtj)()()(0Xt)(X)(0X0Fourier变换式信号的频率不随时间变化，频率分布在所有时间上。信号的频率随时间变化，频率在不同的时间的分布是不同的。这类信号称为时变信号。把频率不随时间变化的信号称为“平稳”信号。注意：此处的“平稳”和“不平稳”和随机信号中的“平稳随机信号”及“非平稳随机信号”的意义不同。0－300ms：100Hz300－600ms：50Hz600－800ms：25Hz800－1000ms：10Hz由上述例子可以看出，傅立叶变换反映不出信号频率随时间变化的行为，因此，它只适合于平稳信号，而对频率随时间变化的非平稳信号，它只能给出一个总的平均效果。信号的幅度不但随时间变化，而且对现实物理世界中的大部分信号，其频率也随时间变化。傅立叶变换不具有时间和频率的“定位”功能。只了解信号在时域或频域的全局特性是远远不够的，需要使用时间和频率的联合函数来表示信号，这种表示称为信号的时频表示。时频分析的最终目的是要建立一种分布，以便能在时间和频率上同时表示信号的能量或者强度，得到这种分布后，我们就可以对各种信号进行分析、处理，提取信号中所包含的特征信息。时频分析的主要任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的，研究并了解时变频谱在数学和物理上的概念和含义。时频分析使用时间和频率的二维分布表示。傅立叶变换的“分辨率”：“分辨率”包含了信号的时域和频域两个方面，它是指对信号所能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨细胞）。分辨能力的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于所用的算法。对在时域具有瞬变的信号，我们希望时域的分辨率要好（即时域的观察间隔尽量短），以保证能观察到该瞬变信号发生的时刻及瞬变的形态。对在频域具有两个（或多个）靠得很近的谱峰的信号，我们希望频域的分辨率要好（即频域的观察间隔尽量短，短到小于两个谱峰的距离），以保证能观察这两个或多个谱峰。Fourier变换写成内积形式信号的傅立叶变换等效于和基函数作内积，由于对不同的构成一族正交基，即等于在这一族基函数上的正交投影，即精确地反映了在该频率处的成分大小。基函数在频域是位于处的函数，因此，当用傅立叶变换来分析信号的频域行为时，它具有最好的频率分辨率。tjetxX),()()(2,21)(2121dteeetjtjtj)(tx)(txtjetje)(X)(txtjetjtetjsincos~但是，在时域对应的是正弦函数因此其在时域的持续时间是从，因此，它在时域有着最坏的分辨率。在前面已讲到，一个宽度为无穷的矩形窗（即直流信号）的傅立叶变换为一函数，反之亦然。当矩形窗为有限宽时，其傅立叶变换为一Sinc函数，即TTTTtjATdteAXsin2)(-TT0Atx(t)ΩX(Ω)02ATtje显然，矩形窗的宽度和其频谱主瓣的宽度（）成反比。由于矩形窗在信号处理中起到了对信号截短的作用，因此，若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。所有这些都体现了傅立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。T)(XTT~不确定性原理：对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总是满足：2141tftTB或也称测不准原理或Heisenberg不等式。频率分辨率。分别称为时间分辨率和、ft既有任意小的时宽，又有任意小的带宽的窗函数是根本不存在的。两个极端的例子：冲击信号窗宽必须与非平稳信号的局部平稳性相适应)()(ttz带宽为无穷大（频谱恒等于1）单位直流信号1)(tz的带宽为零（频谱为冲激函数），其时宽为无穷大。2、短时Fourier变换获得信号局部频谱的一种直观方法是将局域外的时变信号置于窗外加以剔除，这就是短时Fourier变换的思想。),(),(),()()()(21212211ftTcftTcftTtzctzctzzzz很多应用中，我们希望时频表示能够满足叠加原理或线性原理。即：具有以上性质的时频表示称为线性时频表示。典型的线性时频表示：短时Fourier变换、Gabor展开和小波变换。Fourier变换的基函数分布在整个频率域上。如果我们用基函数来代替傅立叶变换中的基函数jtetgg)()(,tjejtetgxgx)(),()(),(,),()()(*tSTFTdetgxxj该式称为的短时傅立叶变换——时频联合表示ShortTimeFourierTransform,STFT）)(txSTFT公式的意义实际上是用沿着轴t滑动，因此可以不断地截取一段一段的信号，然后对其作傅立叶变换，得到的是二维函数。的作用是保持在时域为有限长（一般称作“有限支撑”），其宽度越小，则时域分辨率越好。)(g)(g),(t)(g正是窗函数的时移和频移使短时Fourier变换具有了局部特性，对于一定的时刻t,可视为该时刻的“局部频谱”。),(ftSTFTx极端结果是：如果取无穷长（全局）矩形窗函数，则短时Fourier变换退化为传统的Fourier变换。-101RealpartSignalintime0797515951LinearscaleEnergyspectraldensity5010015020025030035000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=48,Nf=192,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]STFT时频表示-0.500.51RealpartSignalintime0182365LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4WV,lin.scale,contour,Threshold=5%Time[s]Frequency[Hz]chirp信号的时－频表示.（a）信号x(n),(b)x(n)的频谱，(c)x(n)时－频分布的二维表示，(d)x(n)时－频分布的三维表示，STFT时频表示STFT变换时域及频域的分辨率STFT对在时域加窗，引导出在频域对加窗。STFT的基函数具有时－频平面上的一个如下的分辨“细胞”：其中心在处，其大小为(时宽和带宽），不管取何值（即移到何处），该“细胞”的面积始终保持不变。该面积的大小即是STFT的时－频分辨率。如图所示。deGXetSTFTtjtjx)()(),(*21)(x)(tg)(X)(G)(,tg),(t,t作时－频分析时，对快变的信号，希望它有好的时间分辨率以观察其快变部分（如尖脉冲等），即观察的时间宽度要小，受时宽－带宽积的影响，对该信号频域的分辨率必定要下降。反之，对慢变信号，由于它对应的是低频信号，所以希望在低频处有好的频率分辨率，但不可避免的要降低时域的分辨率。-0.500.5RealpartSignalintime084168LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=63,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]-0.500.5RealpartSignalintime084167LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=0,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]我们希望所采取的时－频分析算法能自动适应这一要求。显然，由于STFT的不随变化而变化，因而不具备这一自动调节能力。,,t-0.500.51RealpartSignalintime020454091LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=27,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]-0.500.51RealpartSignalintime020454091LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=6,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]（a）窗函数宽度为55（b）窗函数宽度为13窗函数宽度对时－频分辨率的影响。短时Fourier变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的一个短时间间隔内是平稳的，并移动分析窗函数，使f(t)g(t-t’)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。3、小波变换从本质上讲，短时Fourier变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数。因此短时Fourier变换在分析信号中存在一些缺陷。多分辨率分析（MultiresolutionAnalysis）050100150200250300-505signalx(t)00.10.20.30.40.5-200204060Spectrumofx(t)050100150200250300-505signalx(t)00.10.20.30.40.5-200204060Spectrumofx(t)H0(z)↓2H1(z)↓2)(nx)(1nu)(0nu0()xn1()xn)(1H)(0H22/0)(0zH)(1zH0100200300-4-20246x0(t)0100200300-1-0.500.511.5x1(t)00.20.40.60.8-200204060theSpectrumofx0(t)00.20.40.60.8-40-2002040theSpectrumofx1(t)a1(n)H1(z)↓2H0(z)↓2H1(z)↓2H0(z)↓2H0(z)↓2H1