专题四：曲线运动 万有引力与航天

1专题四：曲线运动万有引力与航天一、曲线运动：（一）曲线运动的条件：F与v0不在同一直线上。（二）曲线运动的特点：v沿切线、F指向凹侧；1、力与轨迹：合力指向轨迹的凹侧；2、力与速度：切向分力改变v的大小；径向分力改变v的方向；(具体阐述平抛、斜向上抛、匀速圆周运动、水流星等运动中力与v的关系，并引出一个观点：物体在某一方向上的运动只取决于此方向的受力和初速度。)3、轨迹与速度：轨迹的切线代表v的方向，而不是v大小，注意与x-t图象的区别。例一：如图所示,点电荷的静电场中电场线用实线表示,但其方向未标明,虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹.a、b是轨迹上的两点.若带电粒子在运动中只受到电场力的作用,根据此图可作出正确判断的是(CD)A.带电粒子所带电荷的性质B.a、b两点电场强度方向C.带电粒子a、b两点处的受力方向D.带电粒子在a、b两点的速度何处较大例二：一质点在xOy平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是(A)A．若在x方向始终匀速运动，则在y方向先减速后加速运动B．若在x方向始终匀速运动，则在y方向先加速后减速运动C．若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直加速运动D．若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直减速运动例三：一带正电的小钢球m以初速度v0在光滑水平面上运动，后受到另一正电荷的排斥作用力而做曲线运动，从M点运动到N点，如图所示．过轨迹上M、N两点的切线MM′和NN′将轨迹MN上方的空间划分为四个区域，由此可知，该正电荷可能处在哪个区域()A．①区B．③区C．②或④区D．均不可能（三）曲线运动的分解——首先让学生回答什么是运动的合成和分解1、定则：平行四边形（x、v、a均为矢量）2、性质：独立性、等时性、等效性（前一个性质是保障，后两个性质可列方程求解）3、思想：将曲线运动分解为直线运动或熟悉的运动模型。例一：一半径为r光滑圆筒高h，如右图所示，现将一小球以速度v从a点水平切入圆筒，结果刚好从其正下方的b点射出。试说明小球在圆筒内作何运动，速度v应满足什么条件？4、原则：分解实际运动2（四）曲线运动的模型：1、速度关联：例一：如图所示，轮船以恒定的水平速度v0沿水面向远离河岸方向运动，通过跨越滑轮的钢丝绳拉动岸上水平轨道上的重物，当钢丝绳与水平面夹角为的瞬间，岸上重物移动的速度多大？v0cos例二：如图所示，一个带滑轮的物体放在水平面上，一根轻绳固定在C处，通过滑轮B和D牵引物体，BC水平，以水平恒速v拉绳上自由端时，物体沿水平面前进．求当跨过B的两绳夹角为时，物体的运动速度为多少？法一：设经Δt时间物体由B运动到B’，如图，使DE=DB’，则D端绳子运动的距离s为sBEBB，当Δt→0，可以认为B’E⊥BD，则cos1cossBBBBBB，又0limtsvt，0limtBBvt物，可得1cosvv物，所以物体的运动速度为1cosvv物．法二：关联速度法——（1）设只有一根水平绳子拉动物体：（2）设只有一根倾斜绳子拉动物体：（3）把两种情况合在一起：32、小船过河：例一：一条宽为L的河，水流速度为v1，船在静水中的速度为v2，那么：(1)怎样渡河时间最短？最短时间是多少？(2)若v1v2，怎样渡河位移最小？——得心应手、尽在掌控(3)若v1v2，怎样渡河船漂下的距离最短？最短距离为多大?——身不由己、尽力而为例二：A船从港口P出发，拦截正以速度v0沿直线MN航行的B船，P与B船所在航线的垂直距离为a，A船起航时，B船与P点的距离为b，且ba，如图所示。如果略去A船起动时的加速过程，认为它一起航就作匀速运动，求A船能拦到B船所需的最小速率。法一：设两船相遇于H点，Av与PN间的夹角为，则：A船的位移——cosasAB船的位移——tan22aabsB因时间相等，故有——0vvssABA整理化简以上各式后有sinsincos0220bavaabavvA其中baarccos可见当babaarcsinarccos22即当A船速度方向与MP垂直时有最小值bavvA0min法二：以B船为参考系，A船已经具有水平向右的分速度v0，再有一自身的分速度vA后，合速度必须朝向B船方能实施拦截。由图，显然，满足这样条件的最小bavvvA00sin。43、平抛运动：(1)类型：任意的初速度+只受重力；轨迹有直线和抛物线两种。（轨迹得出的方法：建立y与x的函数关系，如平抛运动有2021gtytvx，其斜率xvgk02，此处速度kgvxvgtvv220220220)(，进一步证明轨迹的斜率不是速度，只是速度的方向。）例一：、在光滑的水平面内，一质量m=1kg的质点以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一竖直向上的恒力F=15N作用，从此开始，物体离开水平面而在竖直平面内运动。直线OA与x轴成37°角，如图所示，曲线为质点的轨迹图，求(g取10m/s2)：①写出质点的运动轨迹方程；②轨迹与直线OA的交点坐标；③质点经过P点时的速度。①y=1/40x2②P(30m,22.5m)③135m/s,与x轴正方向成arctan1.5角斜向上(2)方法：运动的分解与合成平抛运动中的两个矢量三角形——tan=2tan速度矢量三角形：0220tan,,,vgtvvvgtvvvyxyx位移矢量三角形：0222021tan,,21,vgtyxsgtytvx此结论也可表述为平抛运动的物体在任一位置的瞬时速度的反向延长线过水平位移的中点。例二：如图所示，光滑斜面长为b，宽为a，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。bga2/sin例三：如图所示，墙壁上落着两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成530，飞镖B与竖直墙壁成370，两者相距为d．假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离．（sin370=0.6，cos370=0.8）解析：首先清楚飞镖与墙壁的夹角为速度与墙壁所成的角，做出如图所示的轨迹图，设水平距离为x，将两只飞镖的速度反向延长与初速度的延长线交于一点C，2xCD，037cotCDBD，053cotCDAD，dADBD解得dx724．5例四：如图所示，从倾角为θ的斜面顶端水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点间斜边长为L。(1)求抛出的初速度。(2)抛出后经多长时间物体离斜面最远？并求最远距离。(1)cossin2gL(2)gL2sin4cossingL法一：速度反向延长线过水平位移的中点。法二：类斜向上抛运动。（四）曲线运动的类型：1、从力的角度分类：恒力：平衡状态——静止或匀速直线运动匀变速直线运动——匀加速、匀减速直线运动匀变速曲线运动——抛体运动变力：变速曲线运动——匀速圆周运动单摆（角度范围、受力特征）变速直线运动——弹簧振子例一：若以固定点为起点画出若干矢量，分别代表质点在不同时刻的速度。则这些矢量的末端所形成的轨迹被定义为“速矢端迹”，则以下说法中不正确的是(A)A．匀速直线运动的速矢端迹是线段；B．匀加速直线运动的速矢端迹是射线；C．匀速圆周运动的速矢端迹是圆；D．平抛运动的速矢端迹是竖直方向的射线。2、从运动的角度分类：（1）两个匀速直线运动的合运动——仍然是匀速直线运动。如：蜡块的运动、小船过河问题等。例一：如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（A）（A）大小和方向均不变（B）大小不变，方向改变（C）大小改变，方向不变（D）大小和方向均改变变形：……例二：如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为(C)A．水平向左，大小为vB．竖直向上，大小为vtanθC．沿A杆斜向上，大小为vcosθD．沿A杆斜向上，大小为vcosθ解析：两杆的交点P参与了两个分运动：与B杆一起以速度v水平向左的匀速直线运动和沿B杆竖直向上的匀速运动，交点P的实际运动方向沿A杆斜向上，如图所示，则交点P的速度大小为vP＝vcosθ，故C正确．6（2）一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动（如竖直上抛、下抛运动），不共线时为匀变速曲线运动（如斜抛、平抛）。讲解：斜向上抛运动○1原始：匀速v+自由落体○2一般：水平——vcos匀速竖直——vsin匀减速○3特殊：沿着v方向——初速度为v，以gcos匀减速垂直v方向——初速度为零，以gsin匀加速可见，运动的分解与力的分解相似，并不唯一。例一：在2009年秋季运动会上，高一3班的运动员小李参与掷5㎏铅球项目的比赛，他以8m/s的速度，且与水平方向成30O角的速度斜向上抛出（为了简便，不考虑运动员的身高），如图所示。取重力加速度g＝10m／s2，不计空气阻力。求：（1）铅球在空中飞行时间为t；0.8s（2）铅球在空中达到的最大高度为H；0.8m（2）铅球的水平射程S。5.54m思考：运动员掷铅球要想射程最大，掷铅球的仰角应是多大？——由20sin2vsg知=45O。例二：（匀速+匀变速）如图所示的塔吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起。A、B之间的距离以d=H-2t2（SI）（SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度）规律变化。则物体做(B、C)Ａ．速度大小不变的曲线运动Ｂ．速度大小增加的曲线运动Ｃ．加速度大小方向均不变的曲线运动Ｄ．加速度大小方向均变化的曲线运动7例三：在节日里，礼花弹爆炸后在空中形成五彩缤纷的焰火四散开来，此模型可简化为有8个小球从同一点以大小相同的初速度，分别作斜抛运动，如图所示，则任一时刻，小球在空中的排列的形状形成什么图案？它将做什么运动？答案：观察节日焰火，经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。一般说来，焰火升空后突然爆炸成许许多多小块（看作发光质点），各发光质点抛出速度v0大小相等，方向不同，所以各质点有的向上做减速运动，有的向下做加速运动，有的做平抛运动，有的做斜抛运动，这些发光质点会形成一个不断扩大的球面（“礼花”越开越大）！解析一：用抛体运动的知识解释设某一发光质点的抛出速度为v0，与水平方向夹角为θ，将v0沿水平方向（x轴）和竖直方向（y轴，向上为正方向）正交分解。由抛体运动的研究可知质点的位置坐标为：水平x＝v0cosθ·t；竖直y＝v0sinθ·t－12gt2联立以上两式得：x2＋(y＋12gt2)2＝(v0t)2。这是一个以C（0，－12gt2）为圆心、以v0t为半径的圆的方程式。可见，只要初速度v0相同，无论初速度方向怎样，各发光质点均落在一个圆上（在空间形成一个球面，其球心在不断下降，“礼花”球一面扩大，一面下落），如图所示。解析二：用运动合成和分解的知识解释礼花炮爆炸后，每个发光质点的抛出速度v0大小相同，方向各异，都可以分解为沿原速度方向的匀速直线运动和只在重力作用下的自由落体运动（各个发光质点质量都较小，空气阻力的影响也很小）。很明显，前一分运动使各发光质点时刻构成一个圆，后一个分运动都相同，所以观察者看到的是一个五彩缤纷的“礼花”球一面扩大、一面下落。(3)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。(4)两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动；若合初速度与合加速度在同一直线上，则合运动为匀变速直线运动，如图(甲)所示，不共线时为匀变速曲线运动。如图(乙)所示。8二、圆周运动：（一）基本关系与方法1、圆周运动——22222)π2()π2(fmrTmrmrrvmFFrvatwwrvn向合证明过