非标准分析

1分类号O17陕西师范大学学士学位论文关于非标准分析的一些研究作者单位数学与信息科学学院指导老师陈峥立作者姓名余世辉专业、班级数学与应用数学专业06级2班提交时间二O一O年五月2关于非标准分析的一些研究余世辉(数学与信息科学学院2006级2班)指导教师陈峥立副教授摘要首先本文运用模型论的方法研究了非标准分析，并对其部分内容进行简单介绍.然后在此基础之上引入超实数系统*R，比较其与实数系统R的联系与区别，得到了*R是R的一个真扩张，并且其中包含了“无限小”元素。最后给出在连续函数中用非标方法加以讨论，并采用此法进行应用.关键词非标准:超实数:连续函数SomeresearchaboutthenonstandardanalysisYUShi-hui(Class2,Grade2010,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:AssociateProfessorChenZheng-liAbstract:Firstlythearticleusesthemethodofusingthemodelofthenon-standardanalysis,andhasasimpledescriptionofitsparts.Onthisbasis,thenitintroduceshyperrealnumbersystem*Rcomparedwiththerealnumbersystemofrelationsanddifferences,obtainsthat，*RwhichcontainsinfinitesimalelementisarealexpansionofR.Finally,thecontinuousfunctionusingnon-standardmethodstobediscussedandappliedbythismethod.Keywords:nonstandard;hyperrealnumbers;continuousfunctions1引言在十七世纪，莱布尼茨和牛顿根据非零的无穷小量提出了微分和积分的思想.牛顿在他的计算中使用了一个无穷小量，它可以和任意一个有限数相乘所得结果仍然是无穷小，但可以作为分母，因此不是零.莱布尼茨的dx小于任意一个指定量，同时也是非零的.这种思想并不容易理解和接受.无穷小的工作在整个18世纪3都遭到包括BishopBerkeley、D’Alembert等人的攻击和质疑，但欧拉等人热心地进行了验证.正是欧拉大胆、自由地把无穷小量引入到数学中,才创立了近代微积分学.直到19世纪,微积分才发展成现在课本中的形式,并且有了严格定义的极限,这样争论才平息下来.上世纪数理逻辑在研究数学中长期积累的极为丰富的逻辑资料中得到了迅速的发展，一些重要的数学方法相继出现，也开创了非标准数学模型的研究.在此基础上,1961年初AbrahanmRobinson提出了一种处理极限的新方法，使得无穷小量有了实质的载体.这种方法把使用无穷小量的直观益处和现代数学中的严格性标准结合起来.它的基本思想就是利用实数理论的非标准模型来构造无穷小量.它是在标准分析的基础发展起来的，是其的继续和发展.2非标准分析基础内容简介2.1非标准实数域*R的构造与实数域R2.1.1一个矛盾的由来由哥德尔不完全性定理：任意理论不能递归公理化。也即告诉我们：任何一个充分丰富的形式系统，如果它是和谐的，则该系统内存在这样的语句A，使A与非A在系统内部都不可以证明的。这个定理说明，任何形式体系都不能囊括一切，都是不完全的。当然在数学分析这个逻辑体系中，如果把它看成数理逻辑中所定义的形式系统，根据哥德尔不完全性定理，也必然会有它自身不可克服的矛盾，实数确实如此.数学分析中最集中的基本矛盾是由等式)0(xxdx反映的。x是自变量)0(x，而dx是x的极限，其本质上有)0(0xdx，因此就其本质上看xdx，而实际上)0)((xxoxdx；然而如果不承认)0(xxdx，势必使数学分析中相当多的一部分理论和运算无法建立。于是我们可以得到这样两个结论：结论一：上诉意义上数学分析理论在实数域R这一结构上是不完全的.结论二：若存在这样的数域它包含了非零的无限小量且R中基本的性质中这个新数域也满足.若结论二成立，则矛盾好像就得以解决了，因为这样的无限小量兼顾了非零和4比任意正实数都小的特性.结论一则是对非标准实数域*R探讨的必要性.继而问题是：这样一个结构存在吗？若存在这个*R又会是怎样的？它是唯一的吗？2.1.2几何空间上的启示我们知道一条有向直线可以与实数轴建立一一对应关系，即当直线选取基准点以后，直线上的一个点（一维）就可表示一个实数；反之，任何实数都可以在直线上找到唯一的位置.在笛卡尔平面直角坐标系中平面上任意一个都和一个有序实数对对应：即若把有序实数对看成某种意义下的数时，则建立了平面上的点（二维）和数的一一对应.进而我们考虑三维，四维…随着维数的增加，点的内涵在不断的扩大，对应的“数”的意义也在扩大.但进一步我们思考无限维空间上的点时因为它的无限性使我们的考察对象变得似乎不可琢磨，我们的思维也会变得愈来愈模糊.形如,6,5,4,3,2,1,),,,,,,(654321iRaaaaaaai在定义恰当运算下，这些“数”组成的集合是否能是群？是环？甚至是域呢？是否还具有阿基米德性？这些需要我们进一步的探讨，但至少给了我们这样一个启示：按位思考.2.1.3对非标准实数域*R的构造定义11（非标准数的定义）设无限数列)(),,,,(21Raaaann，记)(),,,,(21Raaaaann则称a为一个非标准数.我们把所有非标准数构成的集合记作*R.若将R中的每个元素r视为一个无限数列，即),,,,(rrrr，则R就成为一个无限列的集合且是包含在集合*R中的.若我们可以得到这样一个结论：在同构的意义下，*R是R的一个真的扩充（定义见文献[1]）.问题会进一步得以清晰.因为在下面的讨论中新的集合*R上，即具有R中的大部分性质，也具备了R没有的性质，如包含了无限小元素，前面所述的矛盾就得以解决了.既然给出了非标准数，要考察*R的性质，那么自然就要考虑到非标准数的运5算及非标准数的大小（序）问题，然而相对于R的性质我们却碰到了如下几个方面的问题：(i）实数是全序的.即每一对实数都有大小关系.当我们将R看作是由每一位都相同的实数构成的无限列集合时，那么R仍然是全序集.而对于一般列，当我们从数列的每一位来看时，情况就会变的比较复杂.例如),1,1,2,1(a，),1,1,1,2(b.这时a的第一位小于b的第二位，而a的第二位大于b的第一位，往后各位都相等，那么a与b究竟谁大谁小？(ii）从运算来看：R是完备域.那么考虑由每位都相同的实数构成的无限列的运算时，按位进行时也一定是完备域.但一般数列按位进行运算时，在乘法中会出现零因子.比如，),0,1,0,1,0,1(a，),1,0,1,0,1,0(b.a与b按位相乘后为),0,0,0(.如果一般数列的这种运算构成域，则a与b中必有一个为零，但哪一个为零呢？还是a与b都为零？进一步我们还想问，一般数列自然包含了实数，但这种一般列是否仍然构成数域，是否可以包含无限小（即它在序关系下小于任意正实数），它与实数的关系是什么？由上述的例子可以看出，矛盾就在于如何将数列的每一位与整体数列统一起来.由每一位都相同的实数构成的无限列在这一点上毫无疑问.即按位考虑问题（序或运算）时，每一位都与整体数列是统一的，因为每一位的性质可以代表整个数列的性质.但是对于一般列，该如何统一呢？这就需要对无限列的下标号集引入“滤子”的概念.直观上来说，就是在按位考虑的同时，兼顾整体.定义21（滤子的概念）设S是一个非空集合，I)(S，满足：（i）I；（ii）若,,IVIU则IVU；（iii）若,,VUIU则IV.那么称I为一个滤子.我们对无限列的下标号集引入滤子I，这个时候的I就是自然数集N的一个子集族.这时，我们说两个无限列6),,(21xxx，),,(21yyy，yx是指存在一个集合IU，使得对于任意的Ui，有iiyx.那么立刻可以保证序的传递性.比如一般列),,,(),,,(2121bbbaaac),,(21cc，若cbba,，则存在,IU使得在U上有,ba即对于任意的,Ui有,iiba同时存在,IV使得在V上有cb，即对于任意的,Vj有,jjcb则令WVU，就得到在W上有ca.但仍然存在下面的问题：问题：在如上定义的序关系下，*R是否为全序集？这个问题就是说，如果引入了滤子I，那么*R中的任意两个元素是否可以比较大小？答案是否定的.例如，我们定义I为这样的集族：}|{余集为有限集且UNUUI那么偶数集和奇数集都不属于I.现在若),1,0,1,0(a，),0,1,0,1(b，则a与b无法比较大小.为了保证*R是全序集，就需要在滤子的基础上做一定的修改，即引入超滤子的概念.定义31（超滤子的概念）设I是自然数集N的一个滤子，若I还满足：（iv）N的任意一个子集U或者U的余集是I中的元素则称I是N的一个超滤子.这样，定义在超滤子上的序关系就可以使*R成为全序集.对于以上引入的这些概念我们需要指出：（1）超滤子是存在的，而且不唯一；（2）超滤子决定新的超实数，但它不改变实数；（3）对于新的超实数，我们可以通过超滤子来研究它们.以上的三点在文献[1]中均有详细的证明及说明，我们在这里就不细说了.为了保证*R是R的真扩张，我们还需要引入自由超滤子，即要求I中的元素均为无限集.关于自由超滤子我们这里不进行讨论，其具体定义及性质见参考文献7[1].定义41*R中的元素x被称为无限小，若rx||对所有正实数r都成立.无穷小量有无穷多个，事实上对有限数而言构成了一个理想.进一步通过这个定义数域*R上不具有阿基米德性.由于元素x为无限小，即满足式rx||，对所有正实数r都成立.对任意正整数n，式bnrnx||成立,其中b也为任意正实数.按定义nx也为无限小，小于任意的正实数.一个无限小量的构造:现在我们考察理论（定义见文献[2]）的下述命题：1）“c为一大于0且小于1的数”2）“c为一大于0且小于21的数”……………n）“c为一大于0且小于n1的数”……………我们把中所有的真命题构成的集合记作T，若有结构C中的元素c使上述命题都为真，则C可称是T的一个模型.显然，对于上述每一命题我们都可以选择恰当的实数c，使得该命题为真.显然，T是一个无穷集合.不难看出，对于T的任一有穷子集合0T我们都可以选择一个适当的实数c，使得0T中每一个命题同时为真.但是，我们不可能在R中找到一个实数c，使得T中的每一个命题在R中都为真.也就是说R不是T的一个模型。但由数理逻辑中的紧致性定理：合式公式的集合是可满足的当且仅当它的每个有限子集是可满足的.即对于形式语言L中的任何一个公式集合E，若E的任一有穷子集合iE都有模型，则E有一模型.显然*R就是T的一个模型，因为在*R中包含了无限小量，换句话说模型的论域中必有一个元素d，使得对于每一个n，都有“d大于0且小于n1”成立.例如),11,,41,31,21(nd，它的对理论中前n的个命题在第n位以后都成立，显然是个大集，由滤子的定义d满足所以的命题，显然它是小于任意正实数的无限小量.8从某种意义上说*R与R的本质区别在于：*R中和谐地包含了无限小量.接下来介绍一些相关定义.定义51*R中的元素x被称为是有限的，若rx||对某个正实数r成立.定义61*R中的两个元素x和y被称为是无限接近的，指yx是无穷小，记作yx.定义71设x*R是一个有限元素，则与x无限接近的实数r，称为x的标准部分，记为)(xstr.有了上述定义后，对于2.1.1所提的矛盾，我们