本科经济计量学第2章(第3版)

第一部分概率论与统计学基础第2章概率与概率分布第2章22.1一些符号2.2试验样本空间样本点和事件2.3随机变量2.4概率2.5随机变量及其概率分布2.6多元随机变量的概率密度函数2.7总结第2章32.1一些符号iiX或nniiXXXX211求和符号：求和符号的性质：1.若k为常数，则有：nkkni12.若k为常数，则有：iiXkkX3.iiiiYXYX)(4.若a,b为常数，则有：iiXbnabXa)(第2章42.2试验样本空间样本点事件1.随机试验（randomexperiment）是指至少有两个可能结果，但不确定哪一个结果会出现的过程。例2.1：抛一枚硬币掷一颗骰子从一副纸牌中抽取一张牌？你还有其它的例子吗？？抛币100次，正面朝上70次，你会认为该币均匀吗？第2章52.样本空间或总体（populationorsamplespace）：随机试验所有可能结果的集合。例2.2：抛两枚同样的均匀硬币。H代表正面朝上，T代表正面朝下。则有四种结果：HH，HT，TH，TT。样本空间（HH，HT，TH，TT）例2.3：在一种双回合游戏中,O1表示两个回合全部获胜;O2表示第一回合获胜，第二回合失败；O3表示第一回合失败，但第二回合获胜；O4表示两个回合全部失败。样本空间（O1，O2，O3，O4）3.样本点（samplepoint）样本空间的每一元素，即每一种结果。4.事件（events）：随机试验的可能结果组成的集合。它是样本空间的一个子集。例2.4：在例2.2中，若事件A表示一枚硬币正面朝上，一枚硬币正面朝下。则事件A由2个样本点构成：HT、TH。即A=(HT,TH)。若考察事件B：两枚硬币中至少有一枚正面朝上，则B事件由3个样本点构成，即B=(HH，HT，TH)。第2章7！如果两个事件不能同时发生，则两个事件称为互斥的（mutuallyexclusive）。！如果一个事件的发生与另一个事件发生的可能性相同，则两个事件称为等可能性的（equallylikely）。！如果可以穷举试验的所有可能结果，事件称为可能性的穷举事件（collectivelyexhaustive）。第2章82.3随机变量例2.5：再来看例2.2，若变量X表示抛两枚硬币正面朝上的个数。有如下情况：第一枚硬币第二枚硬币正面朝上的次数TT0TH1HT1HH2随机变量（stochasticorrandomvariable）：取值由随机试验的结果所决定的变量称为随机变量。X的取值可能是0，也可能是1或2。其取值与随机试验的结果有关，X是一个随机变量(R.V或r.v)。返回第2章9随机变量可分为：离散型（discrete）随机变量（随机变量的取值是离散的，只能取有限多个或可列多个）；连续型（continuous）随机变量（随机变量的取值是在连续区间内，可以取在某一区间的任一值），而且其分布函数F(x)是绝对连续函数。如某年龄的人的身高、体重等随机变量。第2章102.4概率所有基本结果总数的基本结果的个数有利于事件AAPnmAP)()(此定义有两个特征：*试验的结果有限，且必须互斥*试验的每一个结果等可能发生1.事件概率的古典定义：如果一个随机试验的n种可能结果是互斥的，且每个结果等可能发生，事件A含有m个基本结果，则事件A发生的概率(probability)，即P(A)就是：第2章11例2.6掷一颗均匀骰子，有6种可能结果：1，2，3，4，5，6。这些结果互斥并且等可能发生（为什么）？因而，根据古典概率定义，任何一个数字朝上的概率为1/6。这里，m=1,n=6？在一副有52张的扑克中，抽一张为K的概率为多少?返回第2章12？在此定义中要求试验的结果互斥且等可能发生吗？nmAPnlim)(2.概率的频率定义（经验定义）：如果在n次试验（或n个观察值）中，m次有利于事件A，假定试验的次数n足够多，那么，事件A发生的频率就很好地测度了事件A发生的概率P(A)。即：第2章13例2.7下表给出200个学生微观经济学的考试成绩分布(频率分布)200个学生微观经济学的考试成绩分布分数区间均值点频数频率0-950010-19150020-2920030-3935100.05040-4945200.10050-595350.17560-6965500.25070-797450.22580-8985300.15090-9995100.050总计2001第2章14重要性质1.事件A的概率满足：0≤P（A）≤12.若事件A，B，C，…为互斥事件，则P（A+B+C+…）=P（A）+P（B）+P（C）+…3.若事件A，B，C，…为互斥事件，且为一完备事件组，则P（A+B+C+…）=P（A）+P（B）+P（C）+…=1例2.8在例2.6中，1，2，3，4，5，6组成一个完备事件组，则P(1+2+3+4+5+6)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=13.概率的性质第2章15常用性质1.事件A，B称为相互独立事件，若P（AB）=P（A）P（B）2.若事件A，B不是互斥事件，则有P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）3.对应任一事件A，都有互补事件A′，并且，0)(P;1)P(AAAA第2章16例2.9：在例2.5中，两枚正面都朝上的概率是多少？令A表示第一枚正面朝上，B表示第二枚正面朝上，因此现在要求概率P（AB）P（AB）=P（A）P（B）=1/2×1/2=1/4？若事件A和B互斥，P（AB）=0？第2章17例2.10从一副扑克中抽取一张，是红心或是皇后的概率是多少？显然，抽红心和抽皇后不是互斥事件(Why？).因而有：P(红心或是皇后)=P(红心)+P(皇后)-P(既是红心又是皇后)=13/52+4/52-1/52=4/13第2章184.事件A的条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率。用符号P(A|B)表示。有下列公式：)()()|()()()|(APABPABPBPABPBAP第2章19例2.11会计入门班有500个学生，其中男生300人，女生200人。在这些学生中，100个男生和60个女生计划主修会计学。现在，随机抽取一人，发现该学生计划主修会计学。那么，该学生是男生的概率是多少？令A表示学生是男生，B表示学生主修会计学，则要求的概率为：P(A|B)。可知：P(AB)=100/500，P(B)=160/500则：P(A|B)=P(AB)/P(B)=5/8？一般地，P（A|B）是否等于P（A）？何时相等？第2章202.5随机变量及其概率分布2.5.1离散型随机变量的概率分布令随机变量X取离散值函数f定义为，，当当21)(0)(iixXPxXxfii称为概率质量函数（probabilitymassfunction,PMF）或简称为概率函数（probabilityfunction,PF）。PMF有如下性质：,,21xx1)(1)(0xiixfxf第2章21例2.13随机变量X表示抛两次硬币正面朝上的次数。X取3个不同的值：0，1，2X012PF¼½¼1)(Xf1/21/4)(Xf概率密度X图2-2“抛两枚硬币正面朝上”的PMF012第2章22度量连续型随机变量概率分布的函数是概率密度函数。概率密度函数（probabiltitydensityfunction,PDF）度量的是连续随机变量在某一特定范围或区间内的概率。如X代表一连续随机变量:身高，我们欲求“人的身高”在某一区间内(如60～68英寸)的概率，图2-3中的阴影部分即为该区间的概率。06068身高图2-3连续型随机变量的PDF)(Xf概率密度2.5.2连续型随机变量的概率分布第2章23连续型随机变量的PDF也记为f(x)，有：dxxfxXxPxx21)()(21PDF具有如下一些性质：)()()()(.41)(.3)()(.20)(.1212121212121xXxPxXxPxXxPxXxPdxxfdxxfxXxPxfxx＝连续随机变量取单点值的概率为0。第2章242.5.3累积分布函数(cumulativedistributionfunction,CDF)F(x)定义如下：F(x)=P(X≤x)其中，P(X≤x)表示随机变量X取小于或等于x的概率。xXXfxF)()(具有如下性质：)()()(.4)(1)(1)(.3)()(,.21)(,0)(.112212121xFxFxXxPkFkXPkXPxFxFxxFF第2章25例2.15抛一均匀硬币4次，求随机变量X(正面朝上的次数)的PMF和CDF。PMFCDFXX值f()X值F()001/160≤x＜11/16114/161≤x＜25/16226/162≤x＜311/16334/163≤x＜415/16441/164≤x1第2章26右图为例2.15中随机变量X的累积分布函数P－∞0∞1CDF图2-5连续R.V的累积分布函数F(x）115/1611/165/161/1601234x图2-4离散R.V的累积分布函数X值F()0≤x＜11/161≤x＜25/162≤x＜311/163≤x＜415/164≤x1第2章272.6多元概率密度函数用多个随机变量来描述一个试验的结果，求得的概率密度称为多元概率密度。若X1,X2,X3,…Xn都是随机变量，则(X1,X2,X3,…Xn)构成一个n维的随机向量，也称n元随机变量。常见的是二维随机向量。第2章28例2.17一个计算机零售店出售个人电脑和打印机。每天售出的电脑和打印机数量不同，店主记录了过去200天每天的销售状况，见表2-2。66442410124224201010221020202221030162448486401234总计出售个人电脑的数量（X）01234表2-2二元频数分布：售出的个人电脑数量X和打印机数量Y总计2232465446200出售打印机的数量(Y)第2章29表2-3提供了一个双变量（或联合）概率密度函数，通常用f（X,Y）表示。表中每值均为联合概率。一般地，令X、Y是两个离散型随机变量，那么函数：f(X,Y)=P(X=x,Y=y)独立性0.030.030.020.020.010.020.050.060.020.010.010.020.100.050.050.010.010.050.100.100.010.010.010.050.150.080.120.240.240.3201234总计f(x)出售个人电脑的数量（X）01234表2-3个人电脑售出数量X和打印机售出数量Y的二元概率分布总计f(y)0.110.160.230.270.231.00出售打印机的数量(Y)第2章302.6.1边缘概率密度函数边缘概率密度函数：当X取一给定值，而无论Y取值如何时的概率称为X的边缘概率，其概率密度称为X的边缘概率密度函数。下表是例2.14中随机变量X，Y的边缘分布。00.0800.1110.1210.1620.2420.2330.2430.2740.3240.23总计1.00总计1.00Xf(X)Yf(Y)表2-4个人电脑售出数量X和打印机售出数量Y的边缘分布第2章31)|()|(yYxXPYXf2.6.2条件概率函数（离散型）在给定条件下Y取值的概率称为Y的条件概率密度函数)|()|(xXyYPXYfxX计算条件概率密度的方法的边缘概率的联合概率与的边缘概率的联合概率与XYXXfYXfXYfYYXYfYXfYXf)(),()|()(),()|(？在例2.17中，求P(Y=4|X=4)=？类似地，给出X的条件概率密度函数：第2章322.6.3统计独立性统计独立性：两个变量X和Y称为统计独立的，当且仅当它们的联合分布密度函数可以表示成其边缘密度函数之积。即)()(),(YfXfYXf例2.18一个袋子里放着分别写有1，2，3的小球。现从袋