本科经济计量学第3章(第4版)

第3章双变量模型：假设检验【先预习附录D】第3章23.1古典线性回归模型3.2普通最小二乘估计量的方差和标准差3.3OLS估计量的性质3.4OLS估计量的抽样分布或概率分布3.5假设检验3.6拟合优度检验：判定系数3.7回归分析结果的报告3.8数学S.A.T一例的计算机输出结果3.9正态性检验3.10综合实例：美国商业部门工资和生产率的关系3.11预测3.12小结第3章33.1古典线性回归模型（CLRM）基本假定：假定3.1回归模型是参数线性的，但不一定是变量线性的。模型形式如下：假定3.2解释变量X与随机扰动项u不相关。（X是确定性变量时自然成立。）假定3.3给定Xi，随机扰动项的期望为零。即图3-1扰动项的条件分布0|iXuE满足如下基本假定的线性回归模型称为古典线性回归模型(ClassicalLinearRegressionModel,CLRM)。iuXBBYii21第3章4假定3.4同方差假定，即图3-2a同方差和异方差的对比假定3.5无自相关假定，即图3-3自相关假定3.6回归模型是正确设定的。即实证分析的模型不存在设定误差或设定错误。2iuVarjiu,ucovji0第3章5图3-1扰动项的条件分布第3章6图3-2同方差和异方差的对比第3章7图3-3自相关uiuiuiujujuja)b)c)....................................................................................无自相关假定表明随机扰动项ui是纯随机的。第3章83.2普通最小二乘估计量的方差和标准差在第2章我们已经知道：利用最小二乘原理可以得到双变量模型参数的OLS估计量如下：2222221XnXYXnYXXXYYXXxyxbXbYbiiiiiiiii因为上面的估计量是随机变量，它们的值随样本的变化而变化，我们有必要讨论它们的性质。在讨论这些最小二乘估计量的性质之前，先来看它们的方差。第3章92222222112221ˆˆ2ˆ2ˆnYYnebvarbsexbvarbvarbsexnXbvarii22iii方差及标准差：（3-4）（3-5）（3-6）（3-7）（3-8）（3-9）回归标准差：我们不加证明地给出上面两个估计量的方差如下：第3章103.2.1数学S.A.T一例中的方差和标准差估计的数学S.A.T函数如下：)000245.0(9061.160013.04138.432ˆseXYii（3-16）我们可以根据前面给出的公式计算数学S.A.T一例中估计量的方差与标准差，以及回归标准差。见表3-1。（具体计算见Excel文件）3.2.2数学S.A.T一例小结第3章110.000245第3章12DependentVariable:YIMethod:LeastSquaresSample:110Includedobservations:10VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C432.413816.9060725.577420.0000XI0.0013320.0002455.4353960.0006R-squared0.786914Meandependentvar507AdjustedR-squared0.760278S.D.dependentvar63.77913S.E.ofregression31.22715Akaikeinfocriterion9.897309Sumsquaredresid7801.078Schwarzcriterion9.957826Loglikelihood-47.4866F-statistic29.54353Durbin-Watsonstat0.842054Prob(F-statistic)0.000619假设检验第3章133.3OLS估计量的性质OLS估计量b1、b2是最优线性无偏估计量.OLS方法能够得到如此广泛的使用是有原因的。高斯－马尔柯夫定理：若满足古典线性回归模型的基本假定，则在所有线性无偏估计量中，OLS估计量具有最小方差性，即：第3章14222211)ˆ(EBbEBbE(3)最小方差性：即b1的方差小于其他任何一个B1的无偏估计量的方差；b2的方差小于其他任何一个B2的无偏估计量的方差。(1)线性：即b1和b2是随机变量Y的线性函数。(2)无偏性：即2222221XnXYXnYXXXYYXXxyxbXbYbiiiiiiiii第3章15蒙特卡洛试验（略）在理论上，OLS估计量是无偏估计量，在实际中，我们可以进行蒙特卡洛试验来验证其无偏性。假定已知如下信息：iiiiiu2.0X1.5uXBBY21假定X有10个观察值:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.试验及试验结果见表3-2蒙特卡洛试验（书47页），具体操作见Excel文件。ui服从N(0,4)分布第3章163.4OLS估计量的抽样分布或概率分布为了求得OLS估计量b1和b2的抽样分布,我们需要在古典线性回归模型的基本假定上再增加一条假定,即:假定3.7在总体回归函数中,误差项ui服从均值为0,方差为的正态分布,即iiiuXBBY212),0(~2Nui这个假定的理论基础是中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和的分布近似服从正态分布。第3章17图3-4估计量分布的几何图形因为iiiuXBBY21所以Y服从正态分布，而OLS估计量b1和b2又是正态变量Y的线性函数，所以b1和b2也服从正态分布。有：222222212222211)var(;)var(),(~);,(~2121ibiibbbxbxnXbBNbBNb第3章18图3-4估计量分布的几何图形B1a)B2b)b1b2第3章193.5假设检验在数学S.A.T一例中，00212BHBH::0目的是想考察自变量X对应变量Y是否有显著影响。尽管估计得到的参数为0.0013，但由于抽样波动性，这一数字到底与0是否有显著性差异，还有待于检验。置信区间检验假定家庭年收入对学生的数学成绩没有影响，即零假设和备择假设为:1.零假设、备择假设及其含义)000245.0(9061.160013.04138.432ˆseXYii第3章20可以选择两种方法对参数b1和b2进行假设检验：（1）置信区间法。（2）显著性检验法。2.检验方法第3章213.检验所用统计量及其分布2222222)var();,(~22ibbxbBNb因为：若随机误差的方差已知，即可利用Z统计量来进行假设检验。如果随机误差的方差未知，用其估计值来代替，我们可以利用下面统计量：0,1NxBbbseBbZi~2222222222~ntbseBb2222~ˆnitxBb或第3章223.5.1置信区间法接上面例子，假定显著水平α为5％，由于是双尾检验，查表可得(注意自由度，自由度＝10－2＝8)：95.0306.2ˆ306.295.0306.2306.2222ixBbPtP得到B2的95％置信区间为2222222222306.2306.2ˆ306.2ˆ306.2bsebBbsebxbBxbii2,2/222,2/2bsetbBbsetbdfdf00212BHBH::0第3章23即，将数学S.A.T一例中的数字代入，得到B2的95％置信区间为[0.00074，0.00187]因为零假设值落入拒绝域，所以拒绝零假设，认为家庭年收入对学生的数学成绩有影响。22222306.2306.2bsebBbseb因为B2的95％置信区间为00187.000074.0000245.0306.20013.0000245.0306.20013.022BB第3章243-5图给出95%置信区间几何图形同理，截距的95%的置信区间为：3993.4714283.3931B（3-28）1B[b2-2.306se(b2)]b2[b2+2.306se(b2)]a)0.00074b20.00187b)第3章253.5.2假设检验的显著性检验法*22:0BBH(3-29)2222~ntbseBb已知：22*22ntbseBbt～在零假设下，有：利用t统计量对模型参数做显著性假设检验的过程称为t检验。第3章26在具体应用t检验时，需要知道：（1）对于双变量模型，自由度总为(n-2)（2）虽然在经验分析中常用的显著水平α有1%，5%，10%，但显著性水平是由个人任意选取。（3）可用于单边或双边检验。第3章273.5.3继续学生数学S.A.T一例0BH0,BH2120::4354.5000245.000013.0＝t显著水平0.010.050.10t临界值±3.355±2.306±1.860计算得到t值为：(1)双边检验零假设：根据t分布表,求得t的临界值(双边,自由度为8)为:(见图3-6)图3-6t分布图第3章285%2.5%0.5%图3-6t分布图-3.355-2.306–1.86001.8602.3063.355t(8d.f.)5%2.5%0.5%根据上面的表和图，我们可以得到拒绝零假设的结论，也可以利用计算得到的t值所对应的P值更好地看出这一点。t＝5.4354第3章29显著水平0.010.050.10t临界值2.8961.8601.3970:0:2120BH,BH(2)单边检验图3-7(a)t单边检验在学生数学S.A.T一例中，在零假设下计算得到t=5.4354。由于预期模型中的家庭年收入系数为正，因此可利用如下假设：t的临界值(右边，拒绝域在右尾)为：第3章30图3-7单边t检验10%10%5%5%1%1%01.3971.8602.896-2.896–1.860–1.3970t(8d.f.)a)b)根据上面的表和图，我们可以得到拒绝零假设、接受备择假设的结论。也就是说，可以认为家庭年收入对学生的数学S.A.T有正向影响。t=5.4354第3章313.6拟和优度的检验:判定系数2R总离差平方和(TSS)回归平方和(ESS)残差平方和(RSS)222222222ˆˆˆˆˆiiiiiiiiiiiiiiiiiiiexbyeyyexbyeyyYYYYYYeYY222ˆiiieyy本节我们考察估计得到的样本回归直线对真实Y值拟合的优劣程度。相关系数第3章3221ESSRSSTSSTSSESSRTSS判定系数的性质:(1)非负性(2),若R2=1,表示线性模型完全解释的变动,若R2=0,表示Y与X之间无任何关系。201RiYRSSESSTSS(3-37)(3-38)(图3-8总变动的分解)222ˆiiieyy称R2为判定系数，它度量了回归模型对Y的变动解释的程度。平方和分解式：第3章33图3-8Yi中总变动的分解YX..)ˆ(iiiYYeiYˆ)ˆ(YYi)(YYiiiXbbYSRF21ˆ:iYYXXi第3章343.6.1判定系数的计算公式222222211iiiiRSSRTSSeRyeRy(3-39)(3-40)第3章353.6.2学生数学S.A.T一例中的判定系数利用表2-4中的数据和上面计算判定系数的公式，可以计算得到：因为此时的r2较大，可以认为，样本回归函数较好地拟合了总体回归函数。7869.0366100776.78011r2第3章363.6.3相关系数222220.86830.9318iiiiii