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第一章解三角形本章概述●课程目标1.知识与技能目标(1)掌握正弦定理、余弦定理.(2)能初步运用正弦定理、余弦定理解斜三角形.(3)能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题.(4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题.2.过程与方法目标(1)使学生在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系.(2)在探究学习和应用实习的过程中,认识到运用正弦定理、余弦定理可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,提高运用所学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观目标(1)通过对三角形边角关系的探究学习,体验数学探究活动的过程,培养探索精神和创新意识.(2)在运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的实际问题的过程中,逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度,学会用数学的思维方式去解决问题、认识世界.(3)通过实习作业,体会“解三角形在测量中的应用”,提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力.(4)通过学习和运用,进一步体会数学的科学价值、应用价值,进而领会数学的人文价值、美学价值,不断提高自身的文化素养.●学法探究一、加强新旧知识的联系三角形是最基本的几何图形.三角形中的数量关系,有着极其广泛的应用.在初中,我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的测量问题.在实际工作中,我们还会遇到许多其它的测量问题,这些仅用锐角三角函数就不够了.如:1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?5.怎样确定航向,才能在航速一定的情况下,尽快与一运动的物体(如轮船)相遇?等等.探究解决这些新问题时,要多与已学过的相关知识联系(如解直角三角形、三角函数、平面向量等),通过对任意三角形边角关系的研究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系,并将它们融入已有的知识体系.二、理清主要内容,理顺知识体系本章主要内容是正弦定理、余弦定理及其应用和三角形面积公式.重点是利用内角和、边角之间的关系、三角函数式的变形公式去判断三角形的形状、求解三角形以及利用它们解决一些实际问题.学习本章内容,首先要弄清正弦定理、余弦定理的内容、原理、用途.其次要清楚解三角形主要在什么条件下运用什么原理解决些什么问题,有哪些实际用途.1.正弦定理、余弦定理这两个定理揭示了三角形的边与角之间的数量关系,是研究三角形有关问题的主要的常用工具.从两个定理的推导过程中要掌握从特殊到一般和数形结合的思维方法.掌握运用两个定理的关键是从其结构特征上充分理解,注意针对不同类型问题选取恰当形式予以解决.2.解三角形(1)解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一边)求出其它元素的过程.三角形中的基本元素(边和角)与非基本元素(如中线、高、角平分线、外接圆半径、内切圆半径)之间的联系要通过有关的概念与公式(周长、面积、射影定理、勾股定理、内角和定理、全等关系、正余弦定理等)的掌握来实现(2)解斜三角形分以下四种类型.①已知三角形的两角和任一边,求三角形的其它边与角;②已知三角形的两边和其中一边的对角,求三角形的其它边与角.主要用正弦定理解决③已知三边,求三个角;④已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角.主要用余弦定理解决(3)理解已知两边和其中一边的对角解斜三角形时,有一解、二解或无解三种情况,并会判断哪些条件使解三角形有一解、二解或无解.(4)关于三角形的已学过的一些结论:如边角不等关系:两边之和大于第三边;两边之差小于第三边;大边对大角等;全等关系;三角形的两积公式等等.在解三角形过程中可能要用到.(5)要注意归纳总结学习过程中的一些共性和结论.如常见的三角形边角关系恒等式.三角形面积的公式等.(6)注意三角公式的灵活运用,主要是利用两角和与差的三角函数.二倍角的三角函数,诱导公式等进行三角函数变换.(7)由正弦定理可推得非常有用的一个结论,在△ABC中,AB⇔sinAsinB,要熟记.三、注重数学思想方法的运用解三角形作为几何度量问题,应注意数形结合方法的运用,注意将实际问题数学化,抽象出其数学模型,转化为数学问题.注意边角互化中“化异为同”策略运用——化边为角、化角为边,将已知条件和待求问题归结到一个三角形中等.●教法点津1.讲本章前注意引导学生阅读章始引言,并结合工农业生产、生活及科学中的一些实例,引导学生通过天文测量、航海测量、地理测量等实际应用问题的思考,产生探索三角形边角关系的愿望、激发学生学习本章的兴趣,也可以就地取材,提出一些实际问题,如不爬上树如何在地面上测得树高等.2.本章教学要集中突破:(一)如何应用正、余弦定理解决三角形的边角关系,怎样选择应用两个定理.(二)如何分析科研、生产、生活中的一些实际具体测量情景,将问题转化为解三角形的的问题.3.注意与初中学习的解直角三角形知识的衔接.4.不要人为构造一些繁琐的恒等变形训练.5.已知两边和其中一边对角解三角形,是一个学生理解和掌握的难点、不要匆忙将结论告诉学生、应引导学生通过独立思考、合作探究,在实践基础上分析、总结、归纳出结论,有利于学生的掌握.1.1正弦定理和余弦定理第一章第一章第1课时正弦定理课前自主预习方法警示探究思路方法技巧名师辩误做答课后强化作业课堂巩固训练课程目标解读通过对任意三角形边长与角度关系的探索,发现边长与角度之间的数量关系,掌握正弦定理及其推导过程,能够用正弦定理解三角形,判断三角形的形状.课前自主预习1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即:asinA=________=________.2.解三角形:已知三角形的几个元素,求其它元素的过程叫做__________.3.利用正弦定理可以解决有关三角形的下列两类问题.(1)已知两角和任一边,求其它两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求其它的边和角.bsinB解三角形csinC4.正弦定理的推证:(1)教材从直角三角形入手,利用直角三角形的边角关系,推导出asinA=bsinB=csinC,然后又将锐角三角形通过作一边上的高转化为直角三角形,同样推导出asinA=bsinB=csinC.现就△ABC为钝角三角形情形加以说明.如图,当△ABC为钝角三角形时,不妨设角A为钝角.作AB边上的高CD,则点D在BA的延长线上,在Rt△ADC中,CD=________;在Rt△BDC中,CD=_______.所以bsinA=asinB,得到asinA=bsinB.同理可得,bsinAasinBbsinB=csinC.∴asinA=bsinB=csinC.(2)还有没有其它方法能够证明正弦定理?①如图,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系,C点在y轴上的射影为C′.因为向量AC→与BC→在y轴上的射影均为|OC′→|,即|OC′→|=|AC→|cos(A-90°)=bsinA,|OC′→|=|BC→|sinB=asinB,因此,asinB=bsinA,即asinA=bsinB.同理,asinA=csinC.所以,asinA=bsinB=csinC.若A为锐角或直角,也可以得到同样的结论.②用向量的数量积推证如下:如图(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于AC→,则j与AB→的夹角为90°-A,j与CB→的夹角为90°-C.由图(1)看到,AC→+CB→=AB→.为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到j·(AC→+CB→)=j·AB→.∴j·AC→+j·CB→=j·AB→.∴|j||AC→|cos90°+|j||CB→|cos(90°-C)=|j||AB→|cos(90°-A).∴asinC=csinA.∴asinA=csinC.同理,过点C作与CB→垂直的单位向量j,可得csinC=bsinB.∴asinA=bsinB=csinC.当△ABC为钝角三角形时,不妨设∠A90°(图(2)),过点A作与AC→垂直的单位向量j,则j与AB→的夹角为A-90°,j与CB→的夹角为90°-C.同样可证得asinA=bsinB=csinC.这就是说,对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说,上面的关系式均成立.③下面用三角形面积公式证明:如图三角形ABC中,AD是边BC上的高,则S△ABC=12BC·AD=12a·bsinC=12a·csinB∴bsinC=csinB,即bsinB=csinC.作AB边上高,同样可证asinA=bsinB.5.设△ABC外接圆半径为R,则asinA=bsinB=csinC=2R,你会证明吗?作△ABC的外接圆,设直径为BD,则∠A=∠BDC,∠BCD=90°.在Rt△BDC中,a=2Rsin∠BDC=2RsinA,∴asinA=2R.特别地,当△ABC为Rt△时,上述结论显然成立.重点难点展示重点:正弦定理的导出与应用.难点:已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的讨论.学习要点点拨1.正弦定理及其变形要熟知:正弦定理揭示了三角形的边与其对角的正弦的比相等的事实,并且这个比值等于三角形外接圆的直径.即asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC外接圆半径).变形一a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(边化角).变形二sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R(角化边).变形三asinB=bsinA;bsinC=csinB,asinC=csinA.A:b:c=sinA:sinB:sinC.2.正弦定理的应用:(1)如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角,并由正弦定理计算出三角形的另两边.(2)如果已知三角形的任意两边与其中一边对角,应用正弦定理,可以计算出另一边的对角的正弦值,进而确定这个角和三角形其它的边和角.(3)在证三角形全等时,不能用“两边及一边的对角对应相等”来推证.是因为这种情形之下两个三角形可能全等,也可能不全等.故在用正弦定理解决“已知两边和一边的对角解三角形”这个问题时,有一解、两解或无解的情况,应注意判断.下面以已知a、b和A时解三角形为例加以说明,具体见下表:A90°A≥90°aba≥babsinAa=bsinAabsinAaba≤b也可以如下判定:由“三角形中大边对大角”可知,若a≥b,则A≥B,从而B为锐角,有一解;若ab,则AB,此时,由正弦定理得sinB=bsinAa的值.①sinB1,无解;②sinB=1,一解;③sinB1,两解.3.正弦定理的推广.由正弦定理的推导过程可以得到如下面积公式:S△=12absinC=12acsinB=12bcsinA.这些面积公式在求解与三角形面积有关问题中的作用是非常突出的,要熟练掌握.4.在解三角形时,常用到以下结论:(1)在△ABC中,AB⇔ab⇔sinAsinB;(即大边对大角).(2)a+bc,b+ca,a+cb;(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)(3)内角和定理:A+B+C=π;A+B=π-C,A+B2=π2-C2.sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;sinA+B2=cosC2,cosA+B2=sinC2.(4)在锐角△ABC中,A+Bπ2⇔Aπ2-B⇔sinAcosB⇔cosAsinB.5.判断三角形形状特征,要深入研究边、角之间关系.从有无等边,有无等角,有无直角或钝角入手,结合条件进行代换、转化、化简,暴露其关系.思路方法技巧命题方向已知两角和一边解三角形[例1]在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,则b=()A.42B.43C.46D.223[分析]已知两角,由三角形内角和定理第三角可求,已知一边可由正弦定理求其它两边.[答案]C[解析]在△ABC中,A=180°-(B+C)=45°,由正弦定理asinA=bs
本文标题:正弦定理课件
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