线性二次型的最优控制

第5章线性二次型的最优控制第5章线性二次型的最优控制本章主要内容：5.1线性二次型问题5.2状态调节器5.3输出调节器5.4跟踪器线性二次型问题的特点（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）)140()(21)(0fttTTdtRuuQxxuJ第5章线性二次型的最优控制5.1线性二次型问题线性二次性问题的提法：设线性时变系统的状态方程为)()()()15()()()()()(txtCtytutBtxtAtx假设控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为正定二次型半正定二次型实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值0（=0)。加权矩阵总可化为对称形式。)(tu)(*tu固定及正定对称时变加权矩阵—阵半正定对称时变加权矩—阵半正定对称常数加权矩—fttTTffTtttRtQFdttutRtutetQtetFeteuJf0)()()35()]()()()()()([21)()(21)(000AxxxT00AxxxT)25()()()(tytyter)(tyr求最优控制，使下列二次型性能指标最小。第5章线性二次型的最优控制性能指标的物理含义：加权矩阵的意义：（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。例如：Q(t)可开始取值小，而后取值大)35()]()()()()()([21)()(21)(0fttTTffTdttutRtutetQtetFeteuJ大小的代价函数状态转移过程中衡量—)(0)()()(21tetetQteLTe大小的代价函数状态转移过程中衡量—)(0)()()(21tututRtuLTu点误差）终端代价函数（衡量终—0)()(21)(fTfftFetet坏。并不反映系统性能的好始前形成，很大，但误差在系统开时刻)(00tett第5章线性二次型的最优控制线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。线性二次型问题的三种重要情形：)()()()15()()()()()(txtCtytutBtxtAtx)25()()()(tytyter状态调节器)()()(0)()()1tetxtytyItCr输出调节器)()(0)()2tetytyr跟踪问题)()()(0)()3tytytetyrr第5章线性二次型的最优控制5.2状态调节器问题设线性时变系统的状态方程为)15()()()()()(tutBtxtAtx假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。)(tu)(*tu)45()]()()()()()([21)()(21)(0fttTTffTdttutRtutxtQtxtFxtxuJ5.2.1有限时间状态调节器问题txtx终端时间初始条件,)(00有限时间问题终端时间,t无限时间问题终端时间,t物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。第5章线性二次型的最优控制解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式)55(2121TTTTTTTBuAxRuuQxxfLH因控制不受约束，故沿最优轨线有：)65()(01TTBRtuBRuuH（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）规范方程组：)75(1TTAQxxHSAxBBRAxx写成矩阵形式：)85(xAQSAxT其解为：)95()()(),()()(000ttxttttx下面思路：确定与的关系，带入（5-6）形成状态反馈)(tx)(t第5章线性二次型的最优控制横截条件给出了终端时刻二者的关系：即)95()()(),()()(000ttxttttx)105()()()]()(21[)(ffffTftFxtxtFxtxt为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：)115()()()()(),()()(22211211ttxttxttttxfff)135()()()()125()()()(22211211ttxtttxtxff（5-13）-（5-12）*F可得)145(0)()()()()()(12221121tFtxFtFxtff第5章线性二次型的最优控制)145(0)()()()()()(12221121tFtxFtFxtff)155()()()()(211111222txFFt)165()()()(211111222FFtP令)175()()()(txtPt表达式则有）代入是线性关系，（与可见)(165)()(tutxt)185()()()()()(11txtKtxtPBRBRtuTT可实现最优线性反馈控制下面思路：求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大第5章线性二次型的最优控制（5-17）对时间求导2.应用其性质求解p(t))175()()()(txtPt)195(1PxAQxAQxxHSAxBBRAxxTTT)205(][][11xPBPBRPAPPxBBRAxPxPxPxPTT（5-20）与（5-19）相等，可得)215(1QPBPBRPAPAPTT黎卡提方程（Riccati)边界条件：)175()()()(txtPt)105()()(fftFxt)225()(FtPf第5章线性二次型的最优控制还可进一步证明，最优性能指标为：)235()()()(21]),([*TTtxtPtxttxJ黎卡提方程求解问题：（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。第5章线性二次型的最优控制（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R3.状态调节器的设计步骤（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)FtPQPBPBRPAPAPfTT)()215(1（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t))185()()()()()(1*txtPBRtxtKtuT（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值)235()()()(21]),([*TTtxtPtxttxJ第5章线性二次型的最优控制例[5-1]已知一阶系统的微分方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：000)]()([21)(210222rqfdttrutqxtfxJftf0)0()()()(xxtutaxtx二次型性能指标为：)()(1)()()(1*txtprtxtPBRtuT其中p(t)为黎卡提方程的解ftpFtPqtprtaptpQPBPBRPAPAPffTT)()()(1)(2)(21最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）0)0()()](1[)()()(xxtxtpratutaxtx第5章线性二次型的最优控制利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：dfun1.matfunctiondy=dfun1(t,y)dy=zeros(1,1);%acolumnvectora=-1;q=1;r=1;dy(1)=-2*a*y(1)+y(1)^2-q;第5章线性二次型的最优控制利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：cal_p.mat(主程序）options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);f=0;%initialvaluesol=ode45(@dfun1,[10],f,options);x=linspace(1,0,100);y=deval(sol,x);plot(x,y);disp(y(100));%p(t0)=y(100)第5章线性二次型的最优控制利用matlab进行最优控制系统仿真1)0()()()(xtutxtx)()()(*txtptu3858.0)(1)()(2)(02tptptptp第5章线性二次型的最优控制3858.0)(11,1,1)0(,0,10tprtqxfaf计算得，取第5章线性二次型的最优控制变化，设rtqxfaf1,1,1)0(,0,1幅值越大衰减越快、越平稳、越小，)()()(tutxtpr第5章线性二次型的最优控制变化时ftftpf)(恒值）()(ctptf第5章线性二次型的最优控制设线性定常系统的状态方程为)15()()()(tButAxtx假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。)(tu)(*tu)245()]()()()([21)(0tTTdttRututQxtxuJ5.2.1无限时间状态调节器问题txtx终端时间初始条件,)(00无限时间问题终端时间,t说明：1）要求系统完全能控。2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应第5章线性二次型的最优控制最优轨线满足下列线性定常齐次方程：)265()(][)(][)(1txBKAtxPBBRAxtxT)275()()(21)]([000*TTtPxtxtxJ性能指标最优值)245()()()(1*tPxBRtKxtuT可以证明：P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。)255(01QPBPBRPAPATT可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。第5章线性二次型的最优控制例[5-2]已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式正定）式中QbadttutaxtxtbxtxJ(0)]()()()(2)([21202222121)(10)(0010)(tutxtx二次型性能指标为：11100010RabbQBA验证系统能控性20110][RankABBRank第5章线性二次型的最优控制展开整理得到三个代数方程020122212221211212appbppppP满足下列黎卡提矩阵代数方程：01QPBPBRPAPATT)()()()(]1,0[1)()(22212121222112111*txptxptxtxpppptPxBRtuT系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一解之bppppapp22121112221221的符号，下面确定2211pp利用矩阵P正定的性质1222222122211112000papppppp则第5章线性二次型的最优控制与给定条件矛盾，故假设不成立下面用反证法证明不是所求的根最优控制为：1*12p0,2221112212babapapp利用矩阵P正定的性质aaaaababaabappp212)1(2)1(0012)2(0222122211平方02ba1*12p2112*abap)(2