大学物理教程12.4 一维无限深势阱中的粒子

12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础确定粒子的哈密顿量；在全空间写出粒子的能量本征方程；利用波函数的自然条件确定确定能量本征值和波函数。步骤：处理的问题：势阱中的粒子——粒子被束缚在某势场中；势垒对粒子的散射——自由粒子入射到某势场中。12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础一一维无限深势阱中的粒子金属中的电子由于金属表面势能（势垒）的束缚被限制在一个有限的空间范围内运动。称为一维无限深方势阱。-e-e-e-e-e-e-e如果金属表面势垒很高，可以将金属表面看为一刚性盒子。如果只考虑一维运动，就是一维刚性盒子。势能函数为：V=0∞∞V(x)x无限深方势阱0L0(0)()(0,)xLVxxxL12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础在势阱内，定态薛定谔方程得解为：待定常数C和δ解由波函数的自然条件确定。22ii2d()()2dΦxEΦxmx22ii2d0dΦkΦxi()sin()1ΦxCkx（）V=0∞∞V(x)x无限深方势阱0L令222mEk12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础波函数在阱壁上的连续条件、本征能量该方程的解只能是：e()02x（）在势阱外，定态薛定谔方程ie(0)(0)03（）ie()()04LL（）22ee2d()()2dxExmxV=0∞∞V(x)x无限深方势阱0L12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础由式（3）可得由式（4）可得0πkLn1,2,....nπnkLsin0Csin0CkLie(0)(0)03（）ie()()04LL（）i()sin()ΦxCkxiπ()sin()nΦxCxL思考：为什么n不取零和负整数？12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础1)粒子的能量：22212kEnEm2212π2ELm其中能量取分立值（能级），能量是量子化的。11(21)nnEEEnE能量间隔为：,LE能级增大，能级间隔递增,nE阱变宽，能级间隔下降n=13219E14E1E12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础,mE大质量粒子的能级间隔小L很大或m很大，能级几乎连续最低能量(零点能)2212π2EmL22212kEnEm—波动性∞∞V(x)x0L12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础2nnpmE2nnhLpn2)势阱中粒子的动量和波长ππ2πhnnLL)(x阱宽为半波长的整数倍12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础定态波函数为归一化常数C和定态波函数2πsin,0()0,0,nxxLxLLxxL3)定态波函数和粒子在阱内的几率分布2()d()d1xxxx2()d()d1xxxx2CL12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础粒子在阱内的波函数为12(ee)e2iEtikxikxiL()()12[ee]2iiEtpxEtpxiLi2(,)()esineiiEtEtxtxkxL∞∞V(x)x0L每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波（两个单色波的叠加）。波函数为频率相同、波长相同、传播方向相反的两单色平面波的叠加——形成驻波。12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础粒子在势阱中的几率分布：)x(2)x(222sin,0()()0,0,nxxLxxLLxxL12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础例已知质量为m的一维粒子的波函数为：(,)nxt/2πsin()(0)enithnxxLLL0(0,)xxL（1）求基态和第4激发态的能量；(1,2,3...)n2222nnmL（2）求粒子的几率密度分布函数；（3）求粒子在基态和第2激发态时的最可几位置。12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础解由波函数可知，粒子处在宽度为L的势阱中，将波函数代入薛定谔方程(,)(,)nnnxtiExtt中，可得粒子的能级2222π2nEnmL（1）当n=1时，对应基态的能量为2122EmL当n=5时为第4激发态，对应的能量为225122552EEmL12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础（2）波函数的模平方即粒子的几率密度为22πsin0)(,)(,)0(0,)nnnxxLxtxtLLxxL（（3）最可几位置对应几率密度的极值位置，几率密度的一阶导数应为零。因为基态几率密度为2212πsinxLL令21d0dx12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础得222πππ2π2π2sincossin0xxxLLLLL由此可解出最可几位置为10,,2xL在这三个位置中，可以验证只有x=L/2时几率密度最大。第二激发态的几率密度为22323πsinxLL12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础由23d0dx可解出最可几位置为250,,,,,,63236LLLLLxL同样可以验证只有三个位置粒子的几率密度最大。5,,626LLLx12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础二隧道效应（势垒贯穿）自由粒子遇到的势是有限高和有限宽的势垒：EU0axxaxUxU,0,00,)(0xU=U0U=00a12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础1()eeikxikxxAB20)(2'EUmk22mEk2''()eekxkxxDF3()eikxxC透射波利用薛定谔方程可以求得波函数：xU=U0U=00a入射波+反射波指数衰减波其中待定常数B、C、D、F由下列边界条件确定：)0()0(21)0()0(''21)()(32aa)()(''32aa12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础2BRA2CTA反射系数透射系数2222222222'4'sinh)'('sinh)'(kkakkkakkk22222222'4'sinh)'('4kkakkkkk1RT表明：粒子入射到势垒上时，有被反射的几率，亦有穿过势垒透射几率——隧道效应（势垒贯穿）xU=U00aeikxA'eikxBikxCe12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础022()eamUETxU=U0U=0Oa可以证明：Φ(x)可见：m、a、(U0–E)越小，则穿透率T越大。当ka1时[m(U0-E)很小]12.4一维无限深势阱中的粒子第12章量子力学基础[*例]：向墙壁上扔一经典球，球被墙壁反弹回来（当m很大时，T可能很小）；[*例]:电子a=2×10-10m,(U0-E)=1eV但按量子力学小球有可能进入墙壁中≈51%022()eamUET隧道效应只在一定的条件下才明显，例V0-E=1MeV时，粒子穿过势垒的的穿透率与势垒宽度的关系为a-10-14米，T=10-2a-10-14米，T=10-19