统计培训教材11概率与概率分布

概率分布-1一、概率基础---随机实验，样本空间，随机事件---概率：古典概率，几何概率，公理化定义---条件概率---随机变量---常用随机变量的分布：二项、泊松、均匀、指数、正态---数学期望、方差概率分布-2在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。对随机现象进行观察和试验称为随机试验。在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件(A、B)。在随机试验中所有可能出现的结果组成的集合称为样本空间(S)。集合表示：例：抛一枚均匀骰子。事件A表示“大”即“4、5、6点”，如果结果出现5点，则事件A发生了。1、随机实验，样本空间，随机事件概率分布-32、事件的关系与运算事件的关系表示含义加（并）表示事件A与B至少有一个发生A∪B或A+B减（差）表示事件A发生而事件B不发生A-B乘（交）表示事件A与B两个都发生A∩B或AB对立（逆）表示A的对立事件，即“A不发生”（AA=φ，A+A=S）包含与相等表示事件A发生必要导致事件B发生B⊃A或A⊂BA=B互不相容(互斥)表示事件A与事件B不能同时发生（即AB=φ）ASABABSSSAAA-BBABB=ASSSABBA-B概率分布-4例抛一骰子。A表示“偶数点”，B表示“4，5，6”，则事件A与B至少有一个发生为事件A与B都发生事件A发生而B不发生事件A与B都不发生}6,5,4,2{BA}6,4{BA}2{BA}3,1{BA概率分布-5事件的运算法则•交换律:A∪B=B∪AAB=BA•结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)=(AB)C•分配律:A(B∪C)=AB∪ACA∪(BC)=(A∪B)(A∪C)•对偶律:BABABABA,集合的运算法则都适用,常用的有概率分布-63、概率的定义•物理学家吴大猷：误用概率的笑话一个病人去看病，医生检查后告诉病人说他要动手术。病人问这种手术死亡率高不高，医生说这种手术100个人有50个要死的。稍后医生又安慰病人说，到今天已经有50人死去了，所以你不用害怕。概率分布-7估计概率方法一）概率的古典定义1、定义：古典方法是在经验事实的基础上对被考察事件发生可能性进行符合逻辑的分析后得出该事件的概率.如果试验E满足(1)它的结果只有有限种.(2)且每种结果发生的可能性相同.(3)假如被考察事件A含有k个结果,总体事件含有n个结果。则事件A发生的概率为：P(A)=k/n概率分布-82、古典概率模型中事件的概率求法∵试验A的结果只有有限种,即样本点是有限个:1,2,…,n,∴Ω={1}∪{2}∪…∪{n}{i},i=1,2,…n是基本事件，而他们发生的概率都相等，这样1=P(Ω)=P({1}∪{2}∪…∪{n})=P({1})+P({2})+…+P({n})=nP({i}),i=1,2,…n∴P({i})=1/ni=1,2,…因此若事件A包含k个基本事件，于是P(A)=k(1/n)=k/n概率分布-93、古典概率模型的例子例1掷一颗均匀骰子.设:A表示所掷结果为“四点或五点”.B表示所掷结果为“偶数点”.求:P(A)和P(B)解:n=6，kA=2∴P(A)=2/6=1/3kB=3∴P(B)=3/6=1/2概率分布-10例2货架上有外观相同的商品15件,其中12件来自产地甲,3件来自地乙.现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率.解:从15件商品中取出2商品,共有=105种取法,且每种取法都是等可能的.∴n=105令A={两件商品都来自产地甲}kA==66令B={两件商品都来自产地乙}kB==3而事件{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与B互斥。∴它包含基本事件数=66+3=69∴所求概率=69/105=23/35215C212C23C概率分布-11例3：有外观相同的三极管6只,按其电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类.按下列两种方案抽取三极管两只,（1）每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取下一只(放回抽样).（2）每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽到两只不同类三极管}.求：P(A),P(B),P(C),P(D)概率分布-12解:（1）由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取.第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法.第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能的取法.∴取两只三极管共有66=36种可能的取法.注意:这种分析方法使用的是中学学过的乘法原理概率分布-13即n=36且每个基本事件发生的可能性相同.∵第一次取一只甲类三极管共有4种可能的取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能的取法.∴取两只甲类三极管共有44=16种可能的取法,即：kA=16∴P(A)=16/36=4/9令E={抽到两只乙类三极管},kE=22=4∴P(E)=4/36=1/9而C是E的对立事件，∴P(C)=1-P(E)=8/9；∵B=A∪E,且A与E互斥，∴P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的对立事件,∴P(D)=1-P(B)=4/9概率分布-14（2）由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法,第二次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法.由乘法原理∴取两只三极管共有n=65=30种可能的取法.再由乘法原理:∴kA=43=12∴P(A)=12/30=2/5kE=21=2∴P(E)=2/30=1/15∵C是E的对立事件,∴P(C)=1-P(E)=14/15∵B=A∪E,且A与E互斥∴P(B)=P(A)+P(E)=7/15∵D是B的对立事件,∴P(D)=1-P(B)=8/15概率分布-15例4：设N件产品中有K件是次品,N-K件是正品,KN.现从N件中每次任意抽取1件产品,在检查过它是正品或是次品后再放回,这样共抽取了n次.求:事件A={所取的n件产品中恰有k件次品}的概率,k=0,1,2,…,n.解：假定N件产品是有编号的，从中任意取出一件，每次都有N种取法.由乘法原理，n次共有Nn种取法,所以基本事件总数为Nn。当所取的n件产品中恰有k件次品时,由于取到这k件次品的次序的不同，因此从次序考虑共有Cnk种情况。概率分布-16这Cnk种情况确定以后,现在考虑次序，首先从K件次品中取出k件,共有Kk种取法.从N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k种取法.由乘法原理,共有CnkKk(N-K)n-k种取法,∴A中基本事件个数为CnkKk(N-K)n-k.概率分布-17在不放回抽样中，从N件产品种选取n件产品的抽取方法共有CNn(这里不考虑产品的选取次序）;从K件次品中选取k件次品的选择方法有CKk;从N-K件正品中选取n－k件正品的选择方法有CN-Kn-k;抽取n件产品共有k件次品的选择方法有CKkCN-Kn-k；所以抽取n件产品共有k件次品的概率P(A)为：P(A)=CKkCN-Kn-k/CNn这种分布称为超几何分布，上式为超几何分布概率公式。概率分布-18二）概率的统计定义（频率估计法）1、频率：设A是一个事件.在相同的条件下,进行n次试验,在这n次试验中,事件A发生了m次.则称m为事件A在n次试验中发生的次数,称m与n的比值m/n为事件A在n次试验中发生的频率,记为fn(A).2、频率的稳定性：在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.例如抛硬币、掷骰子等,概率分布-19考虑在相同条件下进行的S轮试验.第二轮试验试验次数n2事件A出现m2次第S轮试验试验次数ns事件A出现ms次试验次数n1事件A出现m1次第一轮试事件A在各轮试验中频率形成一个数列我们来说明频率稳定性的含义.ssnmnmnm2211概率分布-20频率的稳定性指的是：当各轮试验次数n1,n2,…,ns充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个平均值相差甚微.即，pnmiinilim概率分布-21这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，称此概率为统计概率这种确定概率的方法称为频率方法.例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.概率分布-223、频率与概率的区别与联系频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率就会非常接近一个值----概率.频率是样本的表现，而概率是总体所具有的特征。因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.概率分布-23设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于Ω中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(A)满足下述三条公理:公理2P(Ω)=1(2)公理3若事件A1,A2,…两两互不相容，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的（必须是可列的）.)()()(2121APAPAAP公理10≤P(A)≤1（1）一）概率的公理定义概率的的性质与运算法则概率分布-24二）概率的性质1.P(Ø)=0即不可能事件的概率为零.2.[概率的加法定理]若事件A1,A2…,An两两互斥,则有:P(A1∪A2…∪An)=P(A1)+…+P(An)即互斥事件之和的概率等于它们各自的概率之和.(有限可加性)[概率的加法定理]3.对两个事件A和B,若AB,则有:P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A).4.对任一事件A,均有APAP1概率的的性质与运算法则概率分布-25BAB又因再由性质3便得(8).)()())(()(ABBPAPABBAPBAP)(ABBA性质5对任意两个事件A、B，有)()()()(ABPBPAPBAP(8)SABAB概率分布-26条件概率•设某电子元件能使用20年以上的概率为0.8，能用25年以上的概率为0.4，如果某件元件已经使用了20年，问它能用25年以上的概率？•这是条件概率5.08.04.0)()()()()|(APBPAPABPABP[概率的乘法定理]:故P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)此外还有全概率公式、贝叶斯公式概率分布-27独立概率•设有2个事件A和B，假如其中一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率，则称事件A与B相互独立。•假如A与B相互独立，则A与B同时发生的概率•假如A与B相互独立，则在事件B发生的前提下，事件A发生的概率)()()(BPAPABP)()()()()()()|(APBPBPAPBPABPBAP概率分布-281.5随机变量及其分布•离散：(Discrete)–二项分布B(n,p)(Binomial)–超几何分布(Hyper-geometric)–泊松分布（Poisson)•连续：(Continuous)–均匀分布(Uniform)–正态分布(Normal)–指数分布(ExponentialDistribution)概率分布-29二项分布B(n,p)•贝努利试验：---进行n次试验(1)各次试验结果相互独立(2)各次试验只有两个结果：“成功”和“失败”(3)在每次试验中“成功”的概率都是p。概率分布-30•在n次贝努利试验中，随机变量X表示“成功”的次数，则“成功”k次的概率为•数学期望==np•方差=2=np(1-p)),1,0()1()(nkppCkXPknkkn)!(!!knknCkn概率分布-31例•买六合彩100次，中3次•射击50次，命中30次•生了3个小孩，有一个是男孩•抽查10个产品，有一个次品•今天碰到6个人，有2人在星期六出生概率分布-32例•已知100个人中有16人近