统计学 第7章 假设检验

《统计学教程》第7章假设检验2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第7章假设检验7.1假设检验的一般问题7.1.1小概率原理7.1.2假设检验的一般步骤7.1.3假设检验两类错误7.1.4双侧检验和单侧检验7.1.5P值7.2单一总体参数的假设检验7.2.1总体均值的假设检验7.2.2总体比例的假设检验7.2.3总体方差的假设检验7.3两个总体参数的假设检验7.3.1两个总体均值之差的假设检验7.3.2两个总体比值之差的假设检验7.3.3两个总体方差之比的假设检验第6章抽样分布与参数估计《统计学教程》6.1抽样分布2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.1抽样分布6.1.2大数定律和中心极限定理1．大数定律在对客观事物及其现象进行观测和实验中，随着观测或实验的次数增多，事件发生的频率和均值逐渐地趋于某个常数。（1）贝努利定理（BernoulliTheorem）（6.1）贝努利定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率。从而以严格的数学形式表述了频率的稳定性特征，即n当很大时，事件发生的频率与概率之间出现较大的偏差的可能性很小。由此，在n充分大的场合，可以用事件发生的频率来替代事件的概率。1limAAnPnnP2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.1抽样分布（2）车比雪夫定理（ChebyshevTheorem）设随机变量相互独立，且具有相同的有限的数学期望和方差，对于任意正整数有（6.2）称序列依概率收敛于总体均值。即当n充分大时，车比雪夫不等式几乎都是成立的；当n趋于无穷大时，n个随机变量的均值趋于总体均值。，，，，nXXX2111limlim1nkknnXnPxP2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.1抽样分布2．中心极限定理在客观现实中，有许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响而形成的，任何一个因素在总的影响中的作用都是微小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布。中心极限定理（CentralLimitTheorem）反映了随机变量近似地服从正态分布的特征。中心极限定理是大样本推断的理论基础。独立同分布的中心极限定理是应用最多的一种中心极限定理。设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有相同的有限的数学期望和方差，则（6.3）xtnkknnndtexnnXxF21221limlim2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.1抽样分布2．中心极限定理在客观现实中，有许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响而形成的，任何一个因素在总的影响中的作用都是微小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布。中心极限定理（CentralLimitTheorem）反映了随机变量近似地服从正态分布的特征。中心极限定理是大样本推断的理论基础。独立同分布的中心极限定理是应用最多的一种中心极限定理。设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有相同的有限的数学期望和方差，则（6.3）★讨论题大数定律和中心极限定理对于参数估计的意义。xtnkknnndtexnnXxF21221limlim2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.1抽样分布6.1.3三种分布1．总体分布总体分布（PopulationDistribution）是指由客观存在的，构成总体的个体所形成的频数分布，及其相关参数数值。例如，当研究某一企业职工收入情况时，该企业全体职工的收入状况的频数分布，以及反映该企业全体职工收入状况的均值、方差、偏态系数和峰度系数，从不同角度综合描述了这一总体的分布特征。我们往往是通过对构成总体的部分个体进行观察，即通过样本数据计算的统计量，例如样本均值、样本方差、样本偏态系数和样本峰度系数，以及样本的频数分布来推断总体参数，用样本分布来估计总体分布。2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.1抽样分布2．样本分布样本分布（SampleDistribution）是指由构成样本的个体所形成样本的频数分布，以及计算出来的相关统计量。样本中的个体都是来自于总体，具有总体的相关信息和基本特征，样本分布是总体分布的一个映象，一个缩影。当样本容量充分大时，样本分布趋近于总体分布。样本分布是指某一个具体的样本中的个体数量特征。由于样本是随机抽取的，每一次抽取的样本中的个体不尽相同，每一个具体的样本分布也会与对应的总体分布存在或大或小的偏误，根据样本计算的统计量是随机变量。（随机抽取的）样本的分布与客观的总体分布之间的误差，需要借助抽样分布概念。2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.1抽样分布3．抽样分布抽样分布（SamplingDistribution）是指从同分布总体中，独立抽取的相同样本容量的样本统计量的概率分布。所以，抽样分布是样本分布的概率分布，抽样分布是抽样理论的研究对象。抽样分布反映了依据样本计算出来的统计量数值的概率分布，这是科学地进行统计推断的基础。例如，在大样本场合，由中心极限定理有样本均值趋于正态分布。2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.1抽样分布3．抽样分布抽样分布（SamplingDistribution）是指从同分布总体中，独立抽取的相同样本容量的样本统计量的概率分布。所以，抽样分布是样本分布的概率分布，抽样分布是抽样理论的研究对象。抽样分布反映了依据样本计算出来的统计量数值的概率分布，这是科学地进行统计推断的基础。例如，在大样本场合，由中心极限定理有样本均值趋于正态分布。★讨论题为什么说抽样分布是抽样理论研究的对象，解释三种分布之间的联系。2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.1抽样分布6.1.4样本均值的抽样分布1．大样本场合下的样本均值抽样分布在反复抽取容量相同的独立同分布样本条件下，所得到的样本均值的概率分布称为样本均值的抽样分布。在样本容量充分大的情况下，即大样本场合，样本均值依据中心极限定理趋于正态分布。所谓独立同分布样本为从无限总体中随机抽取的等概样本，或从有限总体中以放回方式，随机抽取的等概样本。所谓大样本是指能够满足中心极限定理要求，使样本均值趋于正态分布的样本容量。在统计实践中一般称样本容量大于30即为大样本这只是一个粗略的经验数值。有离散变量样本均值的计算公式（6.4）nXxnii12020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.1抽样分布在样本容量充分大的场合下，样本均值渐进地趋于数学期望为总体均值，方差为总体方差的n分之一的正态分布，即样本均值的数学期望为总体均值，表明从平均的观点来看，用样本均值估计总体均值不存在偏差，即具有无偏性；样本均值的方差为总体方差的n分之一，表明只要总体方差是有限的，那么随着样本容量的增大，样本均值的方差相应减小，用样本均值估计总体均值的误差也相应减小。同时可以由总体方差和样本容量，精确地计算出这一样本均值的方差，并且用这一样本方差度量使用样本均值估计总体均值的误差。通过对样本均值的标准化处理，在用样本均值估计总体均值时，可以使用标准正态分布来计算抽样误差出现的概率。nNx2,~2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.2参数估计的一般问题6.2.3点估计量的评价准则在参数的点估计中，可以从一致性、无偏性和有效性三个方面对点估计量进行评价。1．一致性一致性（Consistency）是指当样本容量趋于无穷大时，估计量依概率收敛于总体参数。即（6.25）则称为的满足一致性准则的估计量，一般称之为一致估计量。一致估计量随着样本容量的增大，其数值越来越接近被估计的总体参数。1ˆlimPn2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.2参数估计的一般问题2．无偏性无偏性（Unbiasedness）是指估计量的数学期望等于未知的总体参数真值。即（6.26）则称为的满足无偏性准则的估计量，一般称之为无偏估计量。样本均值是总体均值的一个无偏估计量。（6.27）ˆEniiniiXEnXnExE11112020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.2参数估计的一般问题2．无偏性无偏性（Unbiasedness）是指估计量的数学期望等于未知的总体参数真值。即（6.26）则称为的满足无偏性准则的估计量，一般称之为无偏估计量。样本均值是总体均值的一个无偏估计量。（6.27）★讨论题总体方差的最大似然估计量和矩估计量是否均为无偏估计量。ˆEniiniiXEnXnExE11112020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.2参数估计的一般问题3．有效性有效性（Effectiveness）是指采用均方误差对估计量精确程度的测定，通常表现为两个估计量的均方误差之比。均方误差就是一个测定估计量本身的离散程度，以及估计量数学期望与总体相关参数的真值的偏倚程度的测度。均方误差（MeanSquareError）是估计量与总体参数真值的离差的平方的数学期望，有（6.28）若将估计量的数学期望与总体参数真值的离差记为，称为估计量的偏差，作为反映估计量与总体参数真值偏倚程度的测度。则可将式（6.23）写为（6.29）2ˆˆEMSE22222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆBVEEEEEEEMSE2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第6章抽样分布与参数估计6.2参数估计的一般问题均方误差是由估计量的方差和偏差两部分组成。其中估计量的方差反映的是估计量本身的离散程度；估计量的偏差反映的是估计量的数学期望与总体参数真值的偏倚程度。当两个估计量均为无偏估计量时，均方误差的式（6.29）中的第二项为0，只剩下第一项估计量的方差。这时只要比较估计量的方差就可以对其有效性进行评价。从计算均方误差的式（6.29）可知，对于一个估计量的评价，需要综合分析它对于相关总体参数的估计误差，不能简单地认为一个无偏的估计量就一定优于一个有偏的估计量，还要具体度量有偏估计量的偏倚程度，以及两个估计量的有效性。所以，有效性是评价估计量的一个综合性的重要的准则。第7章假设检验7.1假设检验的一般问题《统计学教程》2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第7章假设检验7.1假设检验的一般问题7.1.1小概率原理小概率原理（SmallProbabilityTheory）是指在发生概率很小的随机事件在一次实验中几乎是不可能发生的。小概率原理是统计假设检验判定接受或拒绝假设的标准和依据。由于概率很小的随机事件在一次实验中几乎是不可能发生的，假如概率很小的随机事件，在一次实验中竟然发生了，则认为假设条件不正确，将原先设定的假设推翻，即拒绝原先设定的假设。2020年1月20日/下午8时50分《统计学教程》第7章假设检验7.1假设检验的一般问题7.1.2假设检验的一般步骤一般可以将假设检验的步骤归纳为五个部分。1．提出原假设和备择假设原假设（NullHypothesis）是指通过样本信息来推断正确与否的命题，也称为零假设。备择假设（AlternativeHypothesis）是指原假设对立的命题，是原假设的替换假设。2．选定适当的检验统计量如同参数估计，假设检验同样是从抽