8第五章第四节 序列相关性

第四节序列相关性SerialCorrelation一、序列相关性二、序列相关性的后果三、序列相关性的检验四、具有序列相关性模型的估计五、案例如果模型的随机误差项违背了互相独立的基本假设的情况，称为序列相关性。普通最小二乘法（OLS）要求计量模型的随机误差项相互独立或序列不相关。一、序列相关性1、序列相关的概念对于模型ikikiiiXXXY22110i=1,2,…,n随机误差项互不相关的基本假设表现为：Covij(,)0i≠j，i,j=1,2,…,n如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性。在其他假设仍成立的条件下，序列相关即意味着0)(jiE或nnTENNE11)(21121nnnE)()()()(21121nnnEEEE21121)()(nnnEE2112)()(nnEEΩ2I2（2.5.1）称为一阶序列相关，或自相关（autocorrelation）。这是最常见的一种序列相关问题。自相关往往可写成如下形式：如果仅存在Eii()10i=1,2,…,n-1（2.5.2）ttt111（2.5.3）其中：被称为自协方差系数（coefficientofautocovariance）或一阶自相关系数（first-ordercoefficientofautocorrelation）。（其含义由来可参阅word文档）2、序列相关产生的原因（1）惯性大多数经济时间数据都有一个明显的特点，就是它的惯性。GDP、价格指数、失业等时间序列都呈周期性，如周期中的复苏阶段，大多数经济序列均呈上升势，序列在每一时刻的值都高于前一时刻的值，似乎有一种内在的动力驱使这一势头继续下去，直至某些情况（如利率或课税的升高）出现才把它拖慢下来。（2）设定偏误：模型中遗漏了显著的变量例如：如果对牛肉需求的正确模型应为Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t其中：Y=牛肉需求量，X1=牛肉价格，X2=消费者收入，X3=猪肉价格。如果模型设定为：Yt=0+1X1t+2X2t+vt那么该式中的随机误差项实际上是：vt=3X3t+t,于是在猪肉价格影响牛肉消费量的情况下，这种模型设定的偏误往往导致随机项中有一个重要的系统性影响因素，使其呈序列相关性。(3)设定偏误：不正确的函数形式例如：如果边际成本模型应为：Yt=0+1Xt+2Xt2+t其中：Y=边际成本，X=产出。但建模时设立了如下模型：Yt=0+1Xt+vt因此，由于vt=2Xt2+t,，包含了产出的平方对随机项的系统性影响，随机项也呈现序列相关性。(4)蛛网现象例如，农产品供给对价格的反映本身存在一个滞后期：供给t=0+1价格t-1+t意味着，农民由于在年度t的过量生产（使该期价格下降）很可能导致在年度t+1时削减产量，因此不能期望随机干扰项是随机的，往往产生一种蛛网模式。(5)数据的“编造”例如，季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动而引进了数据中的匀滑性，这种匀滑性本身就能使干扰项中出现系统性的因素，从而出现序列相关。还有就是两个时间点之间的“内插”技术往往导致随机项的序列相关性。序列相关主要是针对时间序列数据而言的。一般而言，当采用时间序列数据作样本时，往往存在序列相关性。二、序列相关性的后果自相关的后果与异方差性类似。1、参数估计量非有效OLS参数估计量仍具无偏性OLS估计量不具有有效性在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性。2、变量的显著性检验失去意义在关于变量的显著性检验中，当存在序列相关时，参数的OLS估计量的方差将通常被高估，因此实际的t统计量将不再可信，检验就失去意义。采用其它检验也是如此。3、模型的预测失效区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度降低。所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效。三、序列相关性的检验1、基本思路序列相关性检验方法有多种，但基本思路是相同的。首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随机误差项的“近似估计量”：~()eyyiiils0•然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相关性，以达到判断随机误差项是否具有序列相关性的目的。2、图示法由于残差~ei可以作为i的估计，因此如果i存在序列相关，必然会由残差项~ei反映出来，因此可利用~ei的变化图形来判断随机项的序列相关性。如果et随t的逐次变化有规律地变化，呈锯齿形或循环形状的变化，就可判断e存在自相关。如果et随着t的逐次变化不断地改变符号，那么e存在负的序列相关；如果et随着t的逐次变化并不频繁地改变符号，而是n个正et后面跟着n个负的，则表明e存在正的序列相关。2、解析法（1）回归检验法以~ei为被解释变量，以各种可能的相关量，诸如以~ei1、~ei2、~ei2等为解释变量，建立各种方程：~~eeiii1i=2,…,n~~~eeeiiii1122i=3,…,n…具体应用时需要反复试算。回归检验法的优点是：一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式；它适用于任何类型的序列相关性问题的检验。对各方程估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。（2）杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法D-W检验是杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一种检验序列自相关的方法。该方法的假定条件是：（1）解释变量X非随机；（2）随机误差项i为一阶自回归形式：i=i-1+i（3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现下列形式：Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i（4）回归含有截距项；（5）没有缺落数据。Durbin和Watson假设：0:0H，即i不存在一阶自回归；0:1H，即i存在一阶自回归并构如下造统计量：DWeeeiiiniin..(~~)~12221(2.5.5)•D.W.统计量DW≈2（1-ρ）证明：展开D.W.统计量：DWeeeeeiiiiinininiin..~~~~~2121222212(2.5.6)当n较大时，~,~,~eeeiiniiniin2212221大致相等，则(2.5.6)可以化简为：)1(2)~~~1(2..1221niiniiieeeWD式中，niiniiiniiniiieeeeee22211221~~~~~~为一阶自相关模型ttt111的参数估计，如果存在完全一阶正相关，即=1，则D.W.0如果存在完全一阶负相关，即=-1，则D.W.4如果完全不相关，即=0，则D.W.2该统计量的精确分布很难得到。但是，Durbin和Watson成功地导出了临界值的下限dL和上限dU，且这些上下限只与样本的容量n和解释变量的个数k有关，而与解释变量X的取值无关。若0D.W.dl则存在正自相关dlD.W.du不能确定duD.W.4-du无自相关4-duD.W.4-dl不能确定4-dlD.W.4存在负自相关检验步骤①计算该统计量的值，②根据样本容量n和解释变量数目k查D.W.分布表，得到临界值dL和dU，③按照准则判断模型的自相关状态。（1）从判断准则看到，存在一个不能确定的D.W.值区域，这是这种检验方法的一大缺陷。（2）D.W.检验虽然只能检验一阶自相关，但在实际计量经济学问题中，一阶自相关是最多常见的一类序列相关，而且是一阶正相关的情形；（3）经验表明，如果不存在一阶自相关，一般也不存在高阶序列相关。所以在实际应用中，对于序列相关问题一般只进行D.W.检验。•评价：其他方法因为DW检验中要求回归模型解释变量中不含有被解释变量的滞后项，否则检验失效（即它倾向于得出一个非序列相关的结论）。此时可用Durbin-Watsonh检验。杜宾证明，在大样本的情况下，在ρ=0的原假设下，有~N(0,1))T*var(b1T)T*var(b1Tρhjj)2DW-(1ˆ其中，jb是一阶滞后变量的系数估计量。（1）Durbin-Watsonh检验（2）拉格朗日乘数（LM）检验（亦称BG检验）法BG检验由Breusch-Godfrey提出。利用BG统计量可建立一个适用性更强的自相关检验方法，既可检验一阶自相关，也可检验高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情况下，LM检验仍然有效。LM检验原假设为：直到n阶滞后不存在序列相关，n为预先定义好的整数，即H0:1=2=…=n=0；备则假设是：存在n阶自相关。ut=1ut-1+…+nut-n+vt(1)检验统计量由如下辅助回归计算。估计回归方程，并求出残差tμˆ=yt-（b0+b1x1t+b2x2t+…+bk–1xk-1t）(2)检验统计量可以基于如下回归得到：tuˆ=1ˆ1ˆtu+…+nˆntuˆ+xt+vt(3)其中vt为随机项，符合各种假定条件。上式中的tuˆ是式yt=0+1x1t+2x2t+…+k–1xk-1t+ut（4）中ut的估计值。估计（3）式，并计算可决系数R2。构造LM统计量，LM=TR2其中T表示（4）式的样本容量。在零假设成立条件下，LM统计量渐近服从2(n)分布。其中n为（1）式中自回归阶数。如果零假设成立，LM统计量的值将很小，小于临界值。判别规则是，若LM=TR22(n)，接受H0；若LM=TR22(n)，拒绝H0；四、具有序列相关性模型的估计如果模型被检验证明存在序列相关性，则需要发展新的方法估计模型。最常用的方法是广义最小二乘法（GLS:Generalizedleastsquares）、一阶差分法（First-OrderDifference)和广义差分法(GeneralizedDifference)。1、广义最小二乘法（用的较少，了解思想）•对于模型Y=XB+N(2.5.7)如果存在序列相关，同时存在异方差，即有ECovE()()()021121212212•设=DD’用D-1左乘(2.5.7)两边，得到一个新的模型：D-1Y=D-1XB+D-1N(2.5.8)即Y*=X*B+N*该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性。EE()()**DD11DDDWDDDDDI111211212E()•于是，可以用OLS法估计模型(2.5.8)，得()****XXXY1YΩXXΩXYDDXXDDX11111111)()(（2.5.9)•这就是原模型(2.5.7)的广义最小二乘估计量(GLSestimators)，是无偏的、有效的估计量。•如何得到矩阵？仍然是对原模型(2.5.7)首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成矩阵的估计量，即~~~~~~~~~~~~~~~eeeeeeeeeeeeeeennnnn1212121222122可行的广义最小二乘法（FGLS,FeasibleGeneralizedLeastSquares）文献中常见的术语如果能够找到一种方法，求得到Ω的估计量，使得GLS能够实现，都称为FGLS前面提出的方法，就是FGLS在使用统计软件估计模型时，可直接用GLS，而不需要对模型进行异方差和序列