56空间解析几何课件

数量关系—第七章第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影机动目录上页下页返回结束向量及其线性运算第七章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,机动目录上页下页返回结束规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;机动目录上页下页返回结束二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束bbabbacba)()(cbacbaabcbacb)(cbacba)(aababa机动目录上页下页返回结束s3a4a5a2a1a54321aaaaas2.向量的减法三角不等式机动目录上页下页返回结束aaa3.向量与数的乘法是一个数,.a规定:;1aa可见;1aa与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律)(a)(aa分配律)(babaa则有单位向量.1aa因此aaa机动目录上页下页返回结束定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则,0故.即a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝a,0)(ab.ab故机动目录上页下页返回结束“”则例1.设M为MBACD解:ABCD对角线的交点,baACMA2BDMB2已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b.,,,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD机动目录上页下页返回结束ⅦⅡⅢⅥxyzⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.•坐标原点•坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,o•坐标面•卦限(八个)面xoy面yoz1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束Ⅰxyzo向径在直角坐标系下11坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组),,(zyx11)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);rr机动目录上页下页返回结束M坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束xyzo2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M,),,(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixr),,(zyxxoyzMNBCijkA,,,,,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,r任意向量r可用向径OM表示.NMONOMOCOBOA机动目录上页下页返回结束四、利用坐标作向量的线性运算设),,,(zyxaaaa,),,(zyxbbbb则ba),,(zzyyxxbababaa),,(zyxaaa,0时当axxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数机动目录上页下页返回结束例2.求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），，（），，（其中ba解:①②2×①－3×②,得bax32)10,1,7(代入②得)3(21bxy)16,2,11(机动目录上页下页返回结束例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示ABMo11MAB及实数,1得11),,(212121zzyyxx即AMMBAMOAOMMBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(机动目录上页下页返回结束说明:由得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点M为AB的中点,于是得,221xx,221yy221zzABMoMAB11),,(212121zzyyxx中点公式:机动目录上页下页返回结束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式222zyx),,,(zyxr设则有OMrxoyzMNQRP由勾股定理得因得两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxx对两点与,rOM作OMrOROQOP机动目录上页下页返回结束例4.求证以证:1M2M3M21MM2)47(2)31(2)12(1432MM2)75(2)12(2)23(631MM2)45(2)32(2)13(63132MMMM即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动目录上页下页返回结束例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为,),0,0(zM,BMAM因为2)4(212)7(z23252)2(z解得故所求点为及.),0,0(914M思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.机动目录上页下页返回结束提示:(1)设动点为,)0,,(yxM利用,BMAM得(2)设动点为,),,(zyxM利用,BMAM得且例6.已知两点和解:求141)2,1,3(142,141,143BABABA机动目录上页下页返回结束oyzx2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量ba,的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,r为其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦.记作机动目录上页下页返回结束oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz方向余弦的性质:机动目录上页下页返回结束例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos22cos,32,343(21MM机动目录上页下页返回结束例8.设点A位于第一卦限,解:已知作业P3003,5,13,14,15,18,19角依次为,,43求点A的坐标.,,43则222coscos1cos41因点A在第一卦限,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点A的坐标为.)3,23,3(向径OA与x轴y轴的夹,6AO且OAOAAO第二节目录上页下页返回结束备用题解:因1.设,853kjim,742kjin求向量pnma34在x轴上的投影及在y轴上的分向量.13xa在y轴上的分向量为jjay7故在x轴上的投影为jip5,4k机动目录上页下页返回结束2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为11,3对角线的长为解：为边的平机动目录上页下页返回结束mnnm,||nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,jim*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积机动目录上页下页返回结束数量积向量积*混合积第七章1M一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为cossFsFW2Mba的与为baba,s机动目录上页下页返回结束上的投影为在ab记作故,0,时当同理b2.性质为两个非零向量,则有bajrPbbabaajrPaa)1(ba,)2(0ba0ba则0,0ba机动目录上页下页返回结束3.运算律(1)交换律(2)结合律)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律事实上,当0c时,显然成立;时当0cc)(bababcjrPacjrPcbabacjrPccbaccjrPjrPacjrPcbcjrPccacb)(jrPbac机动目录上页下页返回结束ABCabc例1.证明三角形余弦定理cos2222abbac证:则cos2222abbac如图.设,aBC,bACcBA2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,,机动目录上页下页返回结束4.数量积的坐标表示设则0zzyyxxbababa当为非零向量时,coszzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于cosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(kajaiazyx)(kbjbibzyxjikjikbaba两向量的夹角公式,得机动目录上页下页返回结束)(MB,)(MABM例2.已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAMAMB.A解:,1,10,1,01则AMBcos10022AMB求MBMAMAMB故机动目录上页下页返回结束为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量A解:单位时间内流过的体积PA的夹角为且vvnv为单位向量机动目录上页下页返回结束二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPMM矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力FoPFMFM机动目录上页下页返回结束1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩思考:右图三角形面积abS＝机动目录上页下页返回结束2.性质为非零向量,则，0sin或即0aa)1(0ba,)2(0baba∥,0,0时当baba∥0basinab03.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(证明:机动目录上页下页返回结束)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4.向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(iibaxxibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk机动目录上页下页返回结束向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zxzxbbaa