包络线

曲线簇的包络曲线一、包络的定义定义1对于给定的一个单参数曲线簇：(,,)0,(1)Fxyc,(,,),,,cFxycxyc其中是参数是的连续可微函数曲线簇(1)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在曲线簇(1)中,但过这曲线的每一点有(1)中的一条曲线和它在这点相切.对于给定的一个单参数曲线族：0),,(:cyxFlc其中RIc为参数.若存在一条曲线,l满足下列条件:(1);Iccll则称l为曲线族0),,(:cyxFlc的一条包络线,简称为包络.(2)对任意的,,00lyx存在唯一的,0Ic使得000,clyx且l与0cl在有相同的切线.00,xy或定义：例如单参数曲线簇：222)(Rycx（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一簇圆.如图从图形可见,此曲线簇的包络显然为:.RyRy和xyo注:并不是每个曲线族都有包络.例如:单参数曲线族:222cyx(其中c为参数)表示一族同心圆.如图从图形可见,此曲线族没有包络.问题:对于给定的单参数曲线族:(,,)0Fxyc.cI其中是参数如何判断它是否有包络?如果有包络,如何求?根据定义,假设该单参数曲线族有包络,l则对任意的,,lyx存在唯一的,Ic使得.,clyx于是得到对应关系:,:Ilc).,(),(yxcyx从而得到二元函数lyxyxcc),(),,(使得.),(,0)),(,,(lyxyxcyxF若l可用参数形式表示为:),(),(),(ttytx记),())(),((tcttcc则),(,0))(),(),((ttcttF于是,.0dtdcFdtdFdtdFcyxl上任取一个固定点M,则M在某一条曲线cl上.由于l与cl在M点有相同的切线,而l与cl在M点的切线的斜率分别为dxdy与,yxFF所以,有从而.0dtdcFc,0dtdFdtdFyx由于在l上不同的点也在不同的cl上,即,0dtdc因此.0cF现在因此,包络线l上任意一点M不仅要满足,0),,(cyxF而且还要满足.0),,(cyxFc把联立方程组:0),,(0),,(cyxFcyxFc中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线*l称为曲线族Iccl的c-判别曲线0),,(0),,('cyxFcyxFc的称为曲线)1(0),(yxF二、包络的求法曲线族(1)的包络包含在下列两方程,0),(之中而得到的曲线消去参数yxFc.判别曲线c.还有其它曲线判别曲线有时除包络外c注:)1(,0),,(cyxF解记,0)(32)(),,(32cxcycyxF则)3(0)()()2(0)(32)(232cxcycxcy得代入把为了消去)2()3(,c0)(32)(34cxcx即例1的包络.求曲线族0)(32)(32cxcy0]32)[()(3cxcx,不是包络容易验证xy因此c-判别曲线包括两条曲线(4)和(5),)4(xy得从0cx得从032cx)5(92xy0]32)[()(3cxcx.92是包络而直线xyxyO例2求直线族:0sincospyx的包络.这里是参数,p是常数.解记,0sincos),,(pyxyxF则.0cossin,0sincosyxpyx消去参数,得.222pyx0sincospyx的c-判别曲线:经验证222pyx是曲线族0sincospyx的包络.如图:Opxy