第四章线性方程组的理论

第四章线性方程组的理论线性方程组有解的条件线性方程组解的结构线性相关性的理论§4.1线性方程组有解的条件一般的线性方程组为11112211211212221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（1）共有m个方程，n个未知量，矩阵形式为Ax=b.研究三个问题：1.是否有解；2.解是否唯一;3.解法其中A为系数矩阵，b为常数项矩阵，x为未知量矩阵，(A,b)为增广矩阵.证明:线性方程组(1)有解的充要条件即R(A,b)=R(A)经过初等行变换和交换两列可以将(A,b)化为11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab定理１(A,b)=是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.1111212211100010001000000rnrnrrrnrrmccdccdccddd现在设方程组(1)有解，则有r=m即R(A,b)=R(A)反之,设R(A,b)=R(A),因此,方程组(1)有解或rm,但dr+1,dm均为0.或rm,但dr+1,dm均为0.则r=m定理2设线性方程组(1)的系数矩阵和增广矩阵例11234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx当rn时,有无穷多组解.有相同的秩r.当r=n时,有唯一解;解:(A,b)=151111213338111193773131377724477710010000000000行变换因为R(A)=R(A,b)=24,所以有无穷多组解.此时方程组化为13423431313777244777xxxxxx即13423413313777424777xxxxxx取x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)，112212314213313777424777xccxccxcxc(其中x3，x4为自由未知量)则方程组的全部解为例212341234123452724213650xxxxxxxxxxxx解方程组解：(A,b)=5121721421136501,3行交换1365021421512171365007161210143224713650071612100005R(A)=2，R(A,b)=3，此方程组无解.(相当于最后一个方程是0=5)例3123412412341234235243232829521xxxxxxxxxxxxxxx解方程组解：(A,b)=1231524013123281295211231500631300000000001312022113001260000000000此时方程组为124341322211326xxxxx即:124343122213162xxxxx取x2=c1，x4=c2(c1,c2为任意常数),1122132423122213162xccxcxcxc(其中x2，x4为自由未知量)则方程组的全部解为:判定a为何值时，下面的方程组例412312321231axxxxaxxaxxaxa解：|A|=111111aaa(1)有唯一解(2)有无穷多组解(3)无解212aa(1)当a1,且a2时，|A|0,此时有唯一解(2)当a=1时,方程组为有无穷多组解123123123111xxxxxxxxxR(A)=R(A,b)=13无解(3)当a=2时,方程组为123123123212224xxxxxxxxxR(A)=2,R(A,b)=3求a,b,使齐次线性方程组例51231231230020axxxxbxxxbxx解：|A|=1111121abb有非零解,并求解.|A|=0时，1bab=0,或a=1(1)当b=0时,方程组为1231313000axxxxxxxA101011000a13231xxxax(2)当a=1时,方程组为1231231230020xxxxbxxxbxxA1010100001320xxx定理3n元齐次线性方程组Amnx=0有非零解的充要条件是R(A)n.推论若在n元齐次线性方程组Amnx=0中，因为：R(A)mn方程的个数m小于未知量的个数n，则该方程组一定有非零解.例6设有线性方程组123123123212131321xxxxxxxxx（1）有唯一解；问为何值时，此线性方程组（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解．解:因为方程的个数与未知量的个数相同,A22133201100111故可从系数矩阵的行列式入手讨论．因为故由克拉默法则知，当，，时,0110AB当时，写出对应方程组的增广矩阵，0B002101310031方程组有唯一解．并把它化成行阶梯形矩阵12rr0131002100313232rr01310021500022,RA3,RBRARB所以方程组无解．当时，1B1121133111231121021000042131rrrr2,RA3,RBRARB所以方程组无解．当时，1B1121113111412131rrrr112100100020312rr110100100000所以方程组有无穷多个解．23RARB取为自由未知量，得原方程的同解方程组为2x1222310xxxxx1223110100xxxx即令为任意常数，则得方程组的通解为2xk123110100xxkx§4.2n维向量及其线性运算解析几何：原点为起点，点为(,,)Pxyz,,OPxyz(,,)Pxyz,,OPrxyz终点的有向线段所表示的向量为一一对应代数：把向量表示中的花括弧换成圆括弧表示成,,rxyz或Txryxyzz定义1称矩阵1n12naaaa为一个维列向量.n为一个维行向量（即矩阵）.n1n分量T12,,,naaaa称列向量的转置说明：列向量用黑体小写字母a,b,,等表示.行向量则用aT,bT,T,T等表示.（若不加特别说明，所涉及的向量均为n维列向量，且为了书写方便，有时以行向量的转置表示列向量．）T0,0,,00T12(,,,)naaa向量相等：若维向量12,,,Tnaaa与n零向量：分量全为零的向量，记作0，即12,,,Tnaaaa负向量：的负向量是称与相等，记作..a记作12,,,Tnbbb中各个对应的分量相等即ai=bi(i=1,2,3,n)时，T12,,,,naaa则向量T1122,,,nnababab称为向量与的和，记作.向量的减法：()定义2设T1122,,,nnabababT12,,,,nbbbn都是维向量，数与向量a的乘积，记作a或a向量的线性运算的运算性质:,,设为维向量，为实数，则：n,;()();;0012,,,Tnaaaa定义3设，为实数12,,,Tnaaa那么向量叫做（1）（2）（3）()0;1;()();();().（4）（5）（6）（7）（8）第二天为T216,22,18,9aTT1215,20,17,816,22,18,9aa则两天各产品的产量和为T31,42,35,17例1某工厂两天生产的产量（单位：吨）按产品顺序用向量表示T115,20,17,8a第一天为§4.3向量组的线性相关性1.向量组的线性组合向量组:若干个同维的列向量（或同维的行向量）所组成的集合．称为矩阵的列向量组A它的个维行向量组成的向量组mn12,,,TTTmmnijAa对于一个矩阵nm12,,,naaa它的个维列向量组成的向量组A称为矩阵的行向量组；Axb,BAb1122nnxxxaaab1122,,,nnxxx一一对应方程组也可写成向量形式：由线性方程组的向量形式可知线性方程组是否有解就相当于是否存在一组数1122nnaaab成立．使关系式定义1对于给定的一组个维向量组成的mn12,,,mccc1122mmcccaaa称为这个线性组合的系数.向量组a1,a2,am,对任何一组实数c1,c2,cm,向量称为这个向量组的一个线性组合.如果存在一组数，12,,,m使得1122mmbaaa给定向量组A:a1,a2,,am和向量b则称向量b是向量组A的线性组合.或称向量b可以由向量组A线性表示.例1向量组a1,a2,,am中的每个向量因为ai=0·a1++0·ai1+1·ai+0·ai+1++0·am(i=1,2,,m)都可以由该向量组线性表示.ai(i=1,2,,m)例2零向量0可被任一向量组a1,a2,,am线性表示.因为0=0·a1+0·a2++0·am例3称为n维单位坐标向量组.n维向量组e1=(1,0,0,,0)T,e2=(0,1,0,,0)T,,en=(0,0,,0,1)T因为a=a1e1+a2e2++anena=(a1,a2,,an)T且组合系数是向量a的各个分量.任一n维向量是单位坐标向量组的线性组合，由定义1，向量b能由向量组A线性表示，x1a1+x2a2++xmam=b有解,向量b能由向量组A线性表示的充要条件是B=(a1,a2,,am,b)的秩．矩阵A=(a1,a2,,am)的秩等于矩阵因此，根据方程组有解的充要条件，可得也就是线性方程组定理1例4设4维向量1,2,满足312(2+)=0,求其中1=(1,4,0,2)T,2=(3,1,2,5)T解:2121132322TTT333,1,2,51,4,0,2,7,2,822例5设有四个向量=(0,4,2)T能否由1,2,3线性表示?1=(1,2,3)T,2=(2,3,1)T3=(3,1,2)T,问：解：设=k11+k22+k33则有12312