第五章 控制系统稳定性分析

2020/1/21控制工程基础机电工程系测控技术与仪器Ag第五章系统的稳定性稳定性概念Routh稳定性判据Bode稳定性判据Nyquist稳定性判据Theperformancespecificationsofautomationcontrolsystem1.3自动控制系统的基本要求•一、稳定性(Stability)系统处于平衡状态下，受到扰动作用后，系统恢复原有平衡状态的能力。稳定是系统正常工作的前提。为了使系统在环境或参数变化时还能保持稳定，在设计时还要留有一定的稳定裕量。一、稳定性的概念一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。5.1系统稳定性的初步概念不稳定稳定Mbcoodfc条件稳定系统b、c—允许偏差范围d、e—规定偏差边界稳定系统不稳定系统5.1系统稳定性的初步概念系统的稳定性概念又分绝对稳定性和相对稳定性。系统的绝对稳定性是指系统稳定（或不稳定）的条件。系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度。dbe一、稳定性的概念5.1系统稳定性的初步概念线性系统的稳定性与系统的输入信号、初始状态均无关，它是系统的固有本质属性，完全取决于系统的结构和参数。如果线性系统受到扰动的作用而使被控制量产生偏差，当扰动消失以后，隨着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋近于0，即被控量回到原理的平衡状态，则称该系统稳定。系统被控量随时间的推移而发散()()ixtt输出()oxt二、稳定充要条件5.1系统稳定性的初步概念假设系统的初始条件为零，外部激励为输入信号()()ixtt11101110()()()mmommnninnXsbsbsbsbGsXsasasasa系统传递函数：系统输出()?oxt1()()instoiiixtAeBt自由响应强迫响应式中为方程的特征根(1,2,)isin方程的解的一般形式若则系统稳定！lim0istitAe特征方程的根为负实数时，系统稳定。二、稳定充要条件11101110()()()mmommnninnXsbsbsbsbGsXsasasasa5.1系统稳定性的初步概念()()BsAs系统的特征方程：1110()0nnnnAsasasasa特征方程的根：kiriiiiijsssa110)()(系统的单位脉冲响应为：riiiiitkitsitBtAeectyii11)sincos()(系统的特征方程的根是负实数或共轭复数具有负实部时，系统在稳态时（t→∞），单位脉冲响应趋于零，则系统是稳定的。系统稳定的充要条件：特征方程的根全部位于复平面虚轴的左半部。•为了避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。5.2Routh稳定判据一、代数稳定判据1、稳定的必要条件：特征方程中各项系数02、稳定的充分条件：劳斯阵列中第一列所有项01201210nnnnnAsasasasasa系统特征方程为：一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaab121311bbaabc131512bbaabc1201210nnnnnAsasasasasa5.2Routh稳定判据Routh阵列123210nnnnsssssss0246aaaa1357aaaa1b2b3b1c2c0123442331sssss43223430Asssss解：1、该系统满足必要条件13-23系统不稳定。个右根，有次，符号改变劳斯阵列第一列22sA5.2Routh稳定判据2、计算Routh阵列如下：二、计算示例例1：系统特征方程如下，请判断该系统的稳定性。-sXisXo21sssK例2K为何值时，系统稳定?12112KsssKsss32320ssssKA0123321ssKss3K6K0600KK劳斯阵列第一列符号有：5.2Routh稳定判据3、列Routh阵列：必要条件K01、系统的传递函数为：解:()BGsoiXsXs12KsssK2、系统特征方程为：系统稳定的充要条件为0K60123433111sssss05.2Routh稳定判据4323310Asssss33第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。\11例3：判断该系统的稳定性。ε：无限小正数三、劳斯判据的两种特殊情况1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零；s1行为0，表明系统有一对共轭虚根，所以系统临界稳定。01232211ssss002第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。2,02s122s223sjssss[S]5.2Routh稳定判据\三、劳斯判据的两种特殊情况三、劳斯判据的两种特殊情况1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零；32220ssssA例4：判断该系统的稳定性。06543228122016160Asssssss5.2Routh稳定判据0123456sssssss161221612216208131388\1\6\800系统临界稳定\1\3辅助方程式42680ss33412030ssss求导：08s6s2404s2s222js2js4.32.1第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。三、劳斯判据的两种特殊情况2、某一行所有元素均为零。例5：判断系统的稳定性。由该行的上一行元素来解决：（1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行；（2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征根。[S]显然，这些根的数目一定是偶数。5.2Routh稳定判据•表明在S平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根。三、劳斯判据的两种特殊情况2、某一行所有元素均为零。5.2Routh稳定判据四、劳斯判据的应用判定稳定性，确定稳定的参数范围例1系统结构图如右，确定使系统稳定的参数(Ka,x)的范围;解:3220100aaKsssKx32()201000aAssssKx()()()()1()oBiXsGsGsXsGs0123ssss100120aKx2000020aKxxaK0aK0x2000aKx5.3Nyquist稳定判据Re[G]Im[G]10111011...()...mmmmnnnnbsbsbsbGsasasasas1s21110()0nnnnAsasasasa1()0niiiass1()0niiiajs特征方程特征根在频率域的特性jω(jω－s1)当ω＝0→＋∞时，其幅角增量为-π/2。(jω－s2)当ω＝0→+∞时，其幅角增量为π/2。一、米哈伊洛夫稳定定理特征根5.3Nyquist稳定判据Re[G]Im[G]1110()0nnnnAsasasasa1()0niiiass1()0niiiajs特征根特征根在频率域的特性jωs3s3θ(jω－S3)当ω＝0→+∞时，其幅角增量为：π/2+θ。(S3－jω)当ω＝0→+∞时，其幅角增量为：π/2－θ左半平面单个复数特征根平均幅角增量为：π/2一、米哈伊洛夫稳定定理5.3Nyquist稳定判据Re[G]Im[G]1110()0nnnnAsasasasajωs4s4θ(jω－S4)当ω＝0→+∞时，其幅角增量为：－π/2+θ(jω－S4)当ω＝0→+∞时，其幅角增量为：－π/2－θ一、米哈伊洛夫稳定定理1()0niiiass1()0niiiajs特征根特征根在频率域的特性右半平面单个复数特征根平均幅角增量为：－π/2《机械工程控制基础》第十五讲第五章系统稳定性分析1.幅角原理2.Nyquist稳定性判据3.Bode稳定性判据4.稳定判据的穿越法5.3Nyquist稳定判据Re[G]Im[G]s1s2s3s31、Si位于[s]右半平面时，特征根的幅角增量为-π/2，2、Si位于[s]左半平面时，特征根的幅角增量为π/2。n个特征根。设p个位于右半平面，(n-p)个位于左半平面系统幅角增量()()()022Ajnpp(2)2np一、米哈伊洛夫稳定定理s4s41110()0nnnnAsasasasa5.3Nyquist稳定判据nnnmmmmmasasasabsbsbsbsG11101110......)(1110()0nnnnAsasasasaarg()2Ajn一、米哈伊洛夫稳定定理若所有特征根都在左半s平面，则当ω由0变化到+∞时若有p个特征根在右半s平面，则当ω由0变化到+∞时系统稳定条件当ω由0变化到+∞时，A(jω)的相角变化量为：arg()2Ajn此即为米哈伊洛夫稳定定理。arg()(2)2Ajnp开环传递函数：Gk(s)=G(s)×H(s)sXisXosGsH-()1oBiXsGsGsXsGsHs5.3Nyquist稳定判据闭环系统的绝对稳定性可以由开环频率特性曲线图确定。二、奈奎斯特稳定性判据闭环传递函数：要使系统稳定，闭环极点要全部位于复平面的左半部。奈氏判据正是将开环频率特性与系统的闭环极点联系起来的判据。5.3Nyquist稳定判据二、奈奎斯特稳定性判据sAsBsG11sDsNsAsBsAsBsHsGKK2211sDsNsBsBsAsAsBsAsXsXBBio212112sAsBsH22sDsDsAsAsBsBsAsAsHsGKB2121211分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统开环特征多项式。由于系统开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次相同，均为n阶。sXisXosGsH-这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，则：5.3Nyquist稳定判据二、奈奎斯特稳定性判据sDsDsAsAsBsBsAsAsHsGKB21212111()1oBiXsGsGsXsGsHs若开环极点均在s左半平面，则：2argnjDK0:2argnjDB0:arg10GjHj所以：0:sXisXosGsH-5.3Nyquist稳定判据二、奈奎斯特稳定性判据sDsDsAsAsBsBsAsAsHsGKB2121211如果开环特征多项式有P个根在s右半平面，其余（n-p）个根在s左半面，则：0:arg22KDjnp2argnjDB若此时闭环系统是稳定的，即它的所有极点也在左半平面，则：arg1222GjHjn