第五章 数列第三节 等比数列

第五章数列第三节等比数列微知识·小题练微考点·大课堂拓视野·提素养★★★2018考纲考题考情★★★考纲要求真题举例命题角度1.理解等比数列的概念2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3．了解等比数列与指数函数的关系2017·全国卷Ⅱ·T3(5分)(等比数列的实际应用)2017·全国卷Ⅲ·T14(5分)(等比数列的基本量计算)2016·全国卷Ⅰ·T15(5分)(等比数列有关最值问题)2016·全国卷Ⅲ·T17(12分)(等比数列的证明、通项公式)1.等比数列基本量的计算2．等比数列的判定与证明3．等比数列性质的应用微知识·小题练自|主|全|排|查1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从__________起，每一项与它的前一项的________都等于________一个常数。②符号语言：____________(n∈N*，q为非零常数)。(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么________叫做a与b的等比中项。即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝________。第2项比同an＋1an＝qGab2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝__________。(2)前n项和公式：Sn＝_______，q＝1，_____________＝_____________，q≠1。3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)。(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则__________＝__________。特别地，若m＋n＝2p，则____________。a1qn－1na1a11－qn1－qa1－anq1－qam·anap·aqam·an＝a2p(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝____________(m∈N*，公比q≠－1)。(4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是__________数列。(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为_______。Sm(S3m－S2m)等比qk重点微提醒1．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列。2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂。3．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列。4．当q≠0，且q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，这时k＝a11－q。5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方。小|题|快|速|练一、回归教材1．(必修5P45T1改编)设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为()A．63B．64C．127D．128解析由a1＝1，a5＝16，得q4＝a5a1＝16(q0)，q＝2，S7＝a11－q71－q＝127。故选C。答案C2．(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________。解析设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4。所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48。答案12,483．(必修5P62B组T2改编)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则{an}的通项公式an＝________。解析因为S10S5＝3132，所以S10－S5S5＝－132，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－132，q＝－12，则an＝－1×－12n－1＝－－12n－1。答案－－12n－1二、小题查验1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析由题意知该数列前7项和S7＝381，公比q＝2。设塔的顶层的灯的盏数为a1，则有S7＝a11－271－2＝381，解得a1＝3。故选B。答案B2．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1,a1－a3＝－3，则a4＝________。解析根据等比数列的通项公式可得a1＋a1q＝－1，a1－a1q2＝－3，①两式相除可得1＋q1－q2＝13，由①式解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝(－2)3＝－8。答案－83．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________。解析因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac＝(5＋26)(5－26)＝1。因为b0，所以b＝1。答案14．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则此数列的公比q＝________。解析由于其前n项和为Sn，且S3＝3a3，所以a1＋a2＋a3＝3a3，即a1＋a1q＝2a1q2，由于a1≠0，所以2q2－q－1＝0，解得q＝－12或q＝1。答案－12或15．已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a1，a49是方程2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为________。解析因为{an}是等比数列，且a1，a49是方程2x2－7x＋6＝0的两根，所以a1·a49＝a225＝3。而an0，所以a25＝3。所以a1·a2·a25·a48·a49＝(a25)5＝93。答案93微考点·大课堂考点一等比数列基本量的计算【典例1】(1)(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则a2b2＝________。解析(1)由a1＝－1，a4＝a1＋3d＝－1＋3d＝8，得d＝3。所以a2＝a1＋d＝2。由b1＝－1，b4＝b1q3＝－1×q3＝8，得q＝－2，所以b2＝b1q＝2。所以a2b2＝1。答案(1)1(2)(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn。已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________。解析(2)设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则S3＝a11－q31－q＝74，S6＝a11－q61－q＝634，解得q＝2，a1＝14，则a8＝a1q7＝14×27＝32。答案(2)32等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算。【变式训练】(1)(2018·惠州调研)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7解析(1)由a5a6＝a4a7＝－8，a4＋a7＝2，解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2。若a4＝－2，a7＝4，则q3＝－2，所以a1＝a4q3＝1，a10＝a7q3＝－8，所以a1＋a10＝－7；若a4＝4，a7＝－2，则a1＝－8，a10＝1，所以a1＋a10＝－7，故选D。答案(1)D(2)(2018·孝感联考)《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日(第一天)一尺，小鼠也日(第一天)一尺。大鼠日自倍(以后每天加倍)，小鼠日自半(以后每天减半)。问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是________。解析(2)因为前两天大小鼠共穿1＋2＋1＋0.5＝4.5(尺)，所以第三天需要穿5－4.5＝0.5(尺)就可以碰面，第三天大鼠要穿4尺，小鼠要穿14尺，设大鼠穿了x尺，则小鼠穿了(0.5－x)尺，所以x4＝0.5－x14，解得x＝817，小鼠穿了0.5－817＝134(尺)。三天总的来说大鼠穿了1＋2＋817＝5917(尺)，小鼠穿了1＋0.5＋134＝2617(尺)，进度比为59∶26。答案(2)59∶26考点二等比数列的判定与证明【典例2】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)。(1)求a2，a3的值。解(1)因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，所以当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，所以a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，所以a3＝8。综上，a2＝4，a3＝8。(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列。(2)证明：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①所以当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)。②①－②，得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2。所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2)。因为S1＋2＝4≠0，所以Sn－1＋2≠0，所以Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列。1．证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。2．利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证。【变式训练】已知数列{an}的首项a10，an＋1＝3an2an＋1(n∈N*)，且a1＝23。(1)求证：1an－1是等比数列，并求出{an}的通项公式。(2)求数列1an的前n项和Tn。解(1)记bn＝1an－1，则bn＋1bn＝1an＋1－11an－1＝2an＋13an－11an－1＝2an＋1－3an3－3an＝1－an31－an＝13，又b1＝1a1－1＝32－1＝12，所以1an－1是首项为12，公比为13的等比数列。所以1an－1＝12·13n－1，即an＝2·3n－11＋2·3n－1。所以数列{an}的通项公式为an＝2·3n－11＋2·3n－1。(2)由(1)知，1an－1＝12·13n－1，即1an＝12·13n－1＋1。所以数列1an的前n项和Tn＝121－13n1－13＋n＝341－13n＋n。考点三等比数列性质的应用【典例3】(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。解析(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5。所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50。答案(1)50(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝12，则S9S3＝________。解析(2)因为S6∶S3＝1∶2，所以{an}的公比q≠1。由a11－q61－q÷a11－q31－q＝12，得q3＝－12，所以S9S3＝1－q91