D9.2 二重积分的变量代换

§9.2.1曲线坐标和面积元素机动目录上页下页返回结束§9.2二重积分的计算法§9.2.2二重积分的变量代换§9.2.1曲线坐标和面积元素机动目录上页下页返回结束一曲线坐标设在ovuDOuv平面有有界闭区域,D在D定义一一映射(,)(,)xxuvyyuv若(,),(,)xxuvyyuv在D有一阶连续偏导，并且,(,)xyuv在D处处不为零，则一一映射把D一一映成Oxy平面区域.DoyxD机动目录上页下页返回结束ovuD(,)(,)xxuvyyuvoyxD(,)uvD取定0,uu则00(,),(,)xxuvyyuv给出D中的一条称为曲线，v曲线；同样给定0,vv则00(,),(,)xxuvyyuv给出D中的一条曲线，称为u曲线。0u0vv曲线；u曲线。由于映射是一一对应，所以同族的曲线彼此不交。而一条u曲线与v曲线也只有一个交点。于是可以把这两族曲线作为Oxy平面区域D中坐标曲线。oyxDovuD1Mu4M3M2M0uuv0vv1M4M3M2M机动目录上页下页返回结束二面积元素(,)(,)xxuvyyuv当分割变细时，曲边四边形1234MMMM的面积向量12MM14MM和张成的平行四边形的面积。近似等于iD设jM的坐标为,1,2,3,4.jjxyj则122121,,MMxxyy144141,,MMxxyy又(,),(,)xxuvyyuv可微有21xx0000,,xuuvxuvxuouu41xx0000,,xuvvxuvxvovv21yy0000,,yuuvyuvyuouu41yy0000,,yuvvyuvyvovvoyxDovuD1Mu4M3M2M0uuv0vv1M4M3M2M机动目录上页下页返回结束(,)(,)xxuvyyuv122121,,MMxxyy144141,,MMxxyy21xx0000,,xuuvxuvxuouu41xx0000,,xuvvxuvxvovv21yy0000,,yuuvyuvyuouu41yy0000,,yuvvyuvyvovviDiD1214MMMM21214141xxyyxxyyxyuuuuxyvvvv,,xyuvuv略去高阶无穷小oyxDovu1M4M3Mduv1M4M3M2M机动目录上页下页返回结束(,)(,)xxuvyyuviDiD1214MMMM21214141xxyyxxyyxyuuuuxyvvvv,,xyuvuv故我们有微元等式DD2Mdv,,xyddudvuv其中d称为区域D的面积元素，dudv是区域D的面积元素，故称,,xyuv是坐标的面积膨胀率。例sin,cosryrx机动目录上页下页返回结束直角坐标转化为极坐标时orDrrdrdcossinxryrrrdrddrdrdxy),(),(ryxJcossinrsincosrrbaxxfd)())((txtttfd)()]([定积分换元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(,),()1(一阶导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3)变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((定理,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的,vuvuJdd),(ovuDoyxDT机动目录上页下页返回结束§9.2.2二重积分的变量代换oyxDovu证Tuuduvvdv机动目录上页下页返回结束iDiD当区域D进行分割，D的一个分割，由于,fxy在D可积，故Dyxyxfdd),(01lim(,)niiiifxyD01lim(,,,)niiiiiiifxuvyuv,(,)(,)iiuvxyuviDDvuyvuxf)),(),,((vuvuJdd),(会得到区域D例极坐标系二重积分的计算公式机动目录上页下页返回结束设区域D在极坐标下型简单区域)()(21d)sin,cos(rrrrfdDyxfd),(Do)(1r)(2rxy2()rrrD1()rrcossinxryr故12:()()Drd(cos,sin)frrrD例9.2.5解机动目录上页下页返回结束求椭球体2222221xyzabc的体积上半椭球体显然是以D（如图）为底，22221xyabD以22221xyzcabxy为顶曲顶柱体，故22221xycabD令cos,sinxarybrr21D则(,)(,)xyabrr故21crabrD10dr21cabrr202dc43abc例9.2.6机动目录上页下页返回结束求其中由与坐标轴围成的区域。解令2424cos,sinxryrr21D则(,)(,)xyr4423232cos2sin4sincos4sincosrrrtr3338cossinr故ybx2yax2Doyxxqy2xpy2,,22yxvxyu例9.2.7所围成的闭区域D的面积S.解:令Duvopqab则bvaqupD:D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd))((31abpq机动目录上页下页返回结束计算由例其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解,,xyvxyu则2,2uvyuvx),(),(vuyxJvuevuDdd211ee2yxDxoy2121212121xyxye,ddyx)(DDD2vvuvuuov机动目录上页下页返回结束计算令3261sin4ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203yx练习.计算其中D为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203xy及直线,03yx解：平面闭区域.03xysin2roxy2436d机动目录上页下页返回结束