第三章 截面的几何性质

材料力学§3-1静矩和形心§3-2惯性矩、惯性积和惯性半径§3-3惯性矩、惯性积的平行移轴公式§3-4惯性矩、惯性积的转轴公式本章习题第三章截面图形的几何性质(geometricalpropertiesofanarea)yzO一、静矩(staticmoment)对y轴的静矩：AydAzSAzdAyS对z轴的静矩：yzAd大小：正，负，0。量纲：[长度]3§3-1静矩和形心二、截面图形的形心(formcenter)几何形心=等厚均质薄片重心ASAAyyzAcdASAAzzyAcdczyAScyzASyzOczcyC即截面图形对形心轴的静矩为0。结论：若Sy=0zc=0y轴通过形心，反之亦成立。若Sz=0yc=0z轴通过形心，反之亦成立。yz三、组合截面图形的静矩和形心niiiyzAS1niiizyAS1niiniiizcAyAASy11niiniiiycAzAASz11[例3-1]试确定左图的形心。C2C1cczyC,212211AAzAzAzcmm74.39110108010651101058010212211AAyAyAycmm74.19110108010511010408010一、惯性矩（secondaxialmomentofarea）和惯性半径(radiusofinertia)：yzOyzAd对y轴的惯性矩AyAzId2对z轴的惯性矩AzAyId2大小：正。量纲：[长度]42yyiAI2zziAIAIiyy对y轴的惯性半径AIizz对z轴的惯性半径§3-2惯性矩、惯性积和惯性半径hbyzC123hbIzzzd12dd32222bhzbzAzIhhAy12123hbhbhAIiyy12123bbhhbAIizzDOyz32d2d42022DAIDAp实心圆截面：d二、极惯性矩(secondpolarmomentofarea)：ApAId2zyAAAApIIAyAzAyzAIdddd22222yzOAdyz644DIIzy446424DDDiizy空心圆截面：)(Dd组合图形的惯性矩：niyiyII1nizizII1444416464DdDIIzy444413232DdDIpdDOyzAdAdyyzzyzOz轴为对称轴：0dAyzAyzI图形对任一包含对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性矩为0。三、惯性积(productofinertia)：AyzAyzId大小：正，负，0。量纲：[长度]4组合图形的惯性积niyziyzII1y惯性矩是对一根轴而言的，惯性积是对一对轴而言的，极惯性矩是对一点而言的。zypIII四、主轴(principleaxis)：使截面的惯性积为零的一对正交坐标轴称为主惯性轴，简称主轴；截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。如果主轴的交点与截面形心重合，则称其为形心主惯性轴，简称形心主轴；截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。zyyzC形心轴y’、z’不是形心主轴形心轴y、z是形心主轴主轴不唯一形心主轴唯一一、平行移轴公式(formulaofparallelaxis)AbbSIAbbyyAybAyIzczcAAAz221212122d)2(d)(d0czccAySz为形心轴，yzOCcyczab1zAdz1yyAycAzId21AzcAyId21AyczcAzyId11AbIzc2§3-3惯性矩、惯性积的平行移轴公式已知：Iyc，Izc，Iyczc；求：Iy，Iz，Iyz。yzOCcycz1zAdazb1yyAbIIzcz2abAIIAaIIyzcyzycy2同理：在所有互相平行的轴中，截面图形对形心轴的惯性矩最小。zy解：644DIIzy外外644dIIzcy内6452464242242dddddAIIzcz内内dD[例3-2]求图示带圆孔的圆形截面对y轴和z轴的惯性矩。646444dDIIIyyy内外6456444dDIIIzzz内外cz[例3-3]求图示圆对其切线AB的惯性矩。B解：建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。d645166424442dddAdIIyAByzOAyzypIIIdI2324644dIIzy[例3-4]计算图示箱式截面对水平形心轴z的惯性矩Iz。5050·Cz(mm)500·2C425内Cy5050·400外Cy·1CCzCyyz’解：选参考系确定形心位置：zymm44.369550400800500425550400400800500Cy2380050012800500CCzyyI外外5002355040012550400CCzyyI内内410mm1054.1内外zzzIII一、转轴公式(formulaofrotationalaxis)yzOyzAdAyAzId2AzAyId2AyzAyzIdAyAzId211AzAyId211AzyAzyId11111y1z1y1z逆时针转为正。cossinsincos11zyzzyysincossinsincoscoscos1zyy§3-4惯性矩、惯性积的转轴公式2sinsincosdsincosd222211yzzyAAyIIIAyzAzIcossinsincos11zyzzyyyzOyzAd1y1z1y1z2sincos2221yzzyzyzIIIIII2sincos2221yzzyzyyIIIIIIcos22sin211yzzyzyIIII转轴公式zyzyIIII11二、形心主轴和形心主惯性矩1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到=0时，02cos2sin20000yzzyzyIIII则与0对应的旋转轴y0z0称为主轴。zyyzIII22tan0220022yzzyzyzyIIIIIII：主惯性矩2sincos2221yzzyzyzIIIIII2sincos2221yzzyzyyIIIIIIcos22sin211yzzyzyIIII转轴公式截面对通过同一点的所有轴中，最大或最小惯性矩即为对通过该点的主轴的主惯性矩。2sincos2221yzzyzyyIIIIII0dddd00110＝＝时，＝当zyII2sincos2221yzzyzyzIIIIII02cos2sin20000yzzyzyIIIIzyyzIII22tan02cos22sindd1yzzyyIIII2cos22sindd1yzzyzIIII2、形心主轴和形心主惯性矩zcycyczcIII22tan0220022yczczcyczcyczcycIIIIIII形心主惯性矩形心主轴形心主惯性矩小者为截面对所有轴的惯性矩中的最小值。3、求截面形心主惯性矩的方法、建立坐标系。、计算面积和静矩、求形心位置AAzASzAAyASyiiyiiz、求形心主惯性矩zcycyczcIII22tan0、求形心主轴方向0、建立形心坐标系，求yczczcycIII、、220022yczczcyczcyczcycIIIIIII[例3-5]在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：建立坐标系：求形心位置：dddddAAzzAAAyyiiii177.0434200222db2dyzOyCzCy1建立形心坐标系，求yczczcycIII、、便是形心主惯性矩。、轴便是形心主轴；、zcycccyczcIIzyI0c[例3-6]电线铁塔基座采用四个等边角钢组成L160×10mm，a=3m，试计算基座的形心主惯性矩。z0z1zyaa解：AzaIIzz2012442cm52.2677710)1.66864853.779(4502.3131.415053.7794组合截面可以大大提高截面惯性矩。8.85753.7791.668648单个形心惯性矩平衡项惯性矩一、选择题1、在下列关于平面图形的结论中，是错误的。（A）图形的对称轴必定通过形心。（B）图形两个对称轴的交点必为形心。（C）图形对对称轴的静矩为零。（D）使静矩为零的轴必为对称轴。2、在平面图形的几何性质中，的值可正，可负，也可为零。（A）静矩和惯性矩。（B）极惯性矩和惯性矩。（C）惯性矩和惯性积。（D）静矩和惯性积。DD本章习题3、设矩形对其一对称轴z的惯性矩为I,则当其高宽比保持不变，而面积增加1倍时，该矩形对z轴的惯性矩将变为。（A）2I（B）4I（C）8I（D）16I4、若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的说法正确的是。（A）静矩为零，惯性矩不为零。（B）静矩不为零，惯性矩为零。（C）静矩和惯性矩均为零。（D）静矩和惯性矩均不为零。BA5、直径为D的圆对其形心轴的惯性半径i=。（A）D/2（B）D/4（C）D/6（D）D/86、若截面有一个对称轴，则下列说法中，是错误的。（A）截面对对称轴的静矩为零。（B）对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。（C）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。（D）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。BD7、任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的。（A）形心轴（B）主惯性轴（C）形心主惯性轴（D）对称轴BB9、静矩的国际单位是。（A）m4。（B）m。（C）m2。（D）m3。D8、在yoz正交坐标系中，设图形对y,z轴的惯性矩分别为Iy和Iz，则图形对坐标原点的极惯性矩。（A）Ip=0（B）Ip=Iy+Iz（C）（D）22zypIII22zypIII