第四章 线性方程组与向量组的线性相关性(第四讲)

§4线性方程组解的结构教学目的：通过本节的教学使学生理解向量组、矩阵、线性方程组之间的关系.掌握线性方程组解的存在性、解的结构及求解的方法.教学要求：会判断线性方程组的相容性；会求解线性方程组.教学重点：线性方程组的解法.教学难点：齐次线性方程组基础解系的证明.教学时间：2学时.机动目录上页下页返回结束复习：关于线性方程组的两个重要定理:1）n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n.2）n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)等于增广矩阵的秩R(B).且当R(A)=R(B)＝n时,Ax=b有惟一解.当R(A)=R(B)=rn时，Ax=b有无穷多个解.3）线性相关性与齐次线性方程组解的关系.4）线性表示与非齐次线性方程组解的关系.§4线性方程组解的结构4.1齐次线性方程组解的结构设有n元齐次线性组记12x=,nxxx11112212112222112200(1)0nnnnmmmnnaxaxax,axaxax,axaxax,111212122212,Annmmmnaaaaaaaaa则（1）式可写成矩阵方程Ax=0.(2)12x=nxxx称为方程组（1）的解向量，它也就是矩阵方程（2）的解.性质1若x=1,x=2为（2）的解，则x=1+2也是（2）的解.证明只要验证x=1+2满足（2）：A(1+2)=A1+A2=0+0=0.性质2若x=1为（2）的解，k为实数，则x=k1也是（2）的解.证明因为A(k1)=k(A1)=k0=0，所以，x=k1也是（2）的解.齐次线性方程组具有如下的性质：定义4.1设1,2,…,t是齐次线性方程组（2）的解，并且1）1,2,…,t线性无关；2）方程组（2）的任一解都可由1,2,…,t线性表示,则称1,2,…,t为方程组（2）的一个基础解系.由定义可知，基础解系1,2,…,t实际上就是全体解向量的一个极大无关组。当R(A)=n时，方程组（2）只有零解，没有基础解系。当R(A)=rn时，方程组（2）有非零解，如何求出基础解系呢？它由多少个向量构成？它与方程组的通解有什么关系？下面我们来求方程组（2）的一个基础解系.设系数矩阵A的秩为r，并不妨设A的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形矩阵为111,1,100100000000C=,nrrrnrcccc与C对应，即有方程组11111,11,,(3),rnrnrrrrnrnxcxcxxcxcx由于A与C的行向量组等价，故方程组（1）与（3）同解。在（3）中任给xr+1,…,xn一组值，即惟一确定x1,…,xr的值，就得（3）的一个解，也就是（1）的解。现在令xr+1,…,xn取下列n－r组数：12100010,,,,001=rrnxxx由（3）即依次可得1,111122,22122,12,,,,=nrnrrnrrrrcxcccxcccxcc从而求得（3）〔也就是（1）〕的n－r个解。11121,12,12100010001nrrrrnrnrcccccc=,,,=.下面证明1，2，…，n-r就是(3)的一个基础解系。首先，由于(xr+1,xr+2,…,xn)T所取的n－r个n－r维的向量100010001,,,其次，证明（1）的任意解11rrnx都可由1，2，…，n-r线性表示。为此，令向量η=λr+11+λr+22+…+λnn-r，线性无关，所以在每个向量的前面添加r个分量而得到的n－r个n维向量1，2，…，n-r也线性无关.=λr+11+λr+22+…+λnn-r，于是证明了1，2，…，n-r是(1)的一个基础解系。于是方程组的通解可以表示为根据以上的证明，我们就得到如下的定理。x=k11+k22+…+kn-rn-r，其中k1,k2,…,kn-r为任意实数。这就是方程组(1)的通解。由于1，2，…，n-r是（1）的解，故η也是（1）的解，比较η与，知它们的后面n－r个分量对应相等，由于它们都满足方程组（3），从而知它们的前面r个分量亦必对应相等〔方程组（3）表明任一解的的前r个分量由后n－r个分量惟一决定〕，因此η＝，即定理4.1n元齐次线性方程组Ax=0，若R(A)=rn，则基础解系恰含n－r个解向量，并且任意n－r个线性无关的解向量均可构成一个基础解系.证明若设1,2,…,n-r为Ax=0的一个基础解系，1,2,…,n-r是Ax=0的n－r个线性无关的解向量，欲证1,2,…,n-r是Ax=0的一个基础解系,只须再证Ax=0的任意解都可由1,2,…,n-r线性表示.为此，只要注意到n－r+1解向量1,2,…,n-r,都可由基础解系1,2,…,n-r线性表示，有定理2.6知，向量组1,2,…,n-r,线性相关.有定理2.4知,可由1,2,…,n-r线性表示，于是1,2,…,n-r也是Ax=0的一个基础解系.例1求解线性方程组123412341234030320.xxxxxxxxxxxx解对系数矩阵施以初等行变换，得111111111311042013210210A111110102000011012101020000（*）于是对应的同解方程组为1342310,210.2xxxxx1211(,,1,0),(1,0,0,1).22TT注意到x1,x2的系数行列式的值不为0.可选择x3,x4为自由未知量.令则有得方程组的一个基础解系341001，xx及12112102，xx及所以原方程组的通解为12123411210,20110xxxkkxxk1,k2为任意常数.即得原方程组的另一基础解系在上面求基础解系的过程中，如果取对应得342001，xx及1211,10xx及121110.2001，对应的通解为121110,2001xccc1,c2为任意常数.又解由（＊）式原方程组的同解方程组可表示成如下等价形式1342333441212.xxxxxxxxx显然x3,x4为自由的未知量，如令x3=k1,x4=k2，便得方程组的通解121211210,,20110x。kkkk任意其中1211210,20110正是方程组的基础解系.※在上述解法中，自由未知量取值适当，就可以得出比较整齐的结果.但要注意自由未知量的选取并不是惟一的.在上例中，我们选择了首非零元所在的列以外各列对应的未知量为自由未知量.实际上，只要在行阶梯型矩阵中选择一个r阶非零值子式（它所在的列对应的未知量为非自由未知量），余下各列对应的未知量均可作为自由的未知量.如本例可如下化简系数矩阵A和选择自由变量：111111111101131104200210.132102100000A1001可见R(A)=2，注意到未知量x1,x3对应的系数行列式为一个2阶非零子式，可选x1,x3以外的未知量x2,x4为自由未知量.此时与原方程组同解的方程组为1242232442.xxxxxxxxx于是得原方程组的一个基础解系为121110,.2001原方程组的通解为121110,2001xkkk1,k2为任意常数.例2试证对任何的实矩阵A，有R(ATA)=R(A).证明设A为m×n矩阵，x为n维的列向量.考察齐次线性方程组(Ⅰ)Ax=0,(Ⅱ)ATAx=0.显然，(Ⅰ)的解满足(Ⅱ).若设x0是(Ⅱ)的解，即x0满足ATAx0=0.，则xT0(ATA)x0=0，即(Ax0)TAx0=0，从而向量Ax0的各个分量全为零，亦即Ax0=0，所以x0也是(Ⅰ)的解.综上可知方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，它们的基础解系可取为同一组解向量，基础解系的解向量的个数必然相同，即应有n-R(A)=n-R(ATA).因此R(ATA)=R(A).4.2、非其次线性方程组设非其次线性方程组11112211211222221122(4)nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb其矩阵方程为Ax=b.(5)通常把上式右端的常数项全换成0所得到的齐次线性方程组Ax=0称为非齐次线性方程组（5）所对应的齐次线性方程组.性质3设x=1及x=2都是（5）的解，则x=1－2为对应的齐次线性方程组Ax=0(6)的解.证明因为Ax=A(1－2)=A1－A2=b－b＝0.故x=1－2是的解Ax=0的解.性质4设x=是方程（5）的解，x=是方程（6）的解，则x=+仍是方程（5）的解.证明因为Ax=A(+)=A+A=0+b=b.故x=+是Ax=b的解.定理4.2设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，1，2，…，n-r是其对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则Ax=b的通解为-0=k11+k22+…+kn-rn-r，x=k11+k22+…+kn-rn-r+0.（7）=k11+k22+…+kn-rn-r+η0.其中k1,k2,…,kn-r为任意常数.证明根据性质1、2、4易知(7)是方程组（5）的解，为证它是（5）的通解，只须征方程组（5）的任一解都具有（7）的形式.设是Ax=b的任意解，已知0是Ax=b的解，由性质3，-0是Ax=0的解，又1，2，…，n-r是其对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，故存在一组常数k1,k2,…,kn-r，使即1234123412340322+31.xxxxxxxxxxxx111101111011132002421123100121B例3求解线性方程组解对方程组得增广矩阵B施以初等行变换11110110110012100121.0000000000可见R(A)=R(B)=2＜4,故方程组有无穷多解，并有12434121.xxxxx0