定积分

定积分编辑[dìngjīfēn]众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。目录1积分2定义3黎曼积分4分点问题5性质6常用算法换元法分部积分法7基本定理8应用9定理1积分分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。不定积分（Indefiniteintegral）即已知导数求原函数。若F′（x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x），因为F(x)+C的导数也是f(x）（C是任意常数）。所以f(x）积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。定积分（definiteintegral）定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。定积分2定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,…，△xi=b-xi.在每个子区间（xi-1,xi）任取一点ξi(i=1,2,…,n），作和式（见右下图），设λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为（见右下图）：其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。之所以称其为定积定积分分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。3黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？4分点问题定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1）Δx1+f(x2）Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1），那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值.利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数f(x)=x^k（k∈Q，k≠-1），有f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。我们选择等比级数来分点，令公比q=n^√（b/a），则b/a=q^n，b=aq^n。令分点x0=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b，因为f(xj)=xj^k=a^k*q^jk，且Δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j那么“矩形面积和”Sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)]提出a^k*(aq-a），则Sn=a^(k+1)*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+……q^(n-1)(k+1)]利用等比级数公式，得到Sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/N其中N=(q^(k+1)-1)/(q-1），设k=u/v(u,v∈Z），令q^(1/v)=s，则N=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/((s^v-1)/(s-1))令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为（u+v)/v=u/v+1=k+1.5性质①：常数可以提到积分号前。性质②：代数和的积分等于积分的代数和。③：定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与（c,b]则有（见右图）④Risch算法⑤如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则f(x)dx≥06常用算法换元法（1）f(x)∈C([a,b]);(2)x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;(3)当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,则f(x)dx=f(ψ(t))ψ′(t)dt分部积分法设u=u(x),v=（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式uv′dx=uvvu′dx7基本定理定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′（x)=f(x），那么f(x)dx=F(b)-F(a)用文字表述为：一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。8应用1，解决求曲边图形的面积问题例：求由抛物线y^2=4x与直线y=2x-4围成的平定积分的应用(4张)面图形D的面积S.2，求变速直线运动的路程做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t）≥0）在时间区间[a,b]上的定积分。3，变力做功某物体在变力F=F(x）的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x）在[a,b]上的定积分。（见图册“应用”）9定理定理1：设f(x）在区间[a,b]上连续，则f(x）在[a,b]上可积。定理2：设f(x）在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x）在[a,b]上可积。定理3：设f(x）在区间[a,b]上单调，则f(x）在[a,b]上可积。词条图册更多图册定积分的应用(4张)词条图片(13张)1/1数学名词A-F▪八边形▪八面体▪百分比▪百分点▪百分位数▪半径▪半球▪半圆▪被乘数▪被除数▪被加数▪被减数▪比▪比例▪边▪变量▪标准差▪表面积▪并集▪补集▪不等边三角形▪不等式▪不定积分▪差▪长▪常量▪乘▪乘方▪乘数▪除▪除数▪垂心▪次方▪次方根▪大于▪大于等于▪代数▪单调性▪单项式▪导数▪等边三角形▪等式方程式▪等腰三角形▪等腰梯形▪等于▪底▪底面▪点▪定积分▪定理▪定义域▪对数▪钝角▪钝角三角形▪多边形▪多面体▪二次方程▪多项式▪二次方根平方根▪二次方平方▪二进制▪二十面体▪反余割▪反余切▪反余弦▪反正割▪反正切▪反正弦▪方差▪非正态分布▪分布▪分母▪分数▪分子▪负▪复数以上名词按中文名拼音首字母顺序排列G-L▪高▪公理▪公式▪勾股定理▪轨迹▪函数▪和▪横坐标▪弧▪弧度▪环▪积▪积分▪极限▪集合▪几何▪计算▪加▪加权平均数▪加数▪假设▪减▪减数▪交集▪角▪角度▪阶乘▪截尾▪进位▪九边形▪九面体▪矩形▪矩阵▪开方▪空集▪空间▪宽▪棱台▪棱柱▪棱锥▪立方体▪菱形▪零▪六边形▪六面体以上名词按中文名拼音首字母顺序排列M-R▪面▪面积▪命题▪内切圆▪内心▪排列▪旁心▪抛物线▪平角▪平均数▪平行▪平行六面体▪平行四边形▪七边形▪七面体▪奇偶性▪球▪曲线统计图▪全等▪权▪锐角▪锐角三角形以上名词按中文名拼音首字母顺序排列S-Z▪三次方程▪三次方根立方根▪三次方立方▪三角▪三角形▪扇形▪扇形统计图▪商▪上舍入▪射线▪十边形▪十二边形▪十二面体▪十进制▪十六进制▪十面体▪十一边形▪十一面体▪实数▪数▪数列级数▪数字▪双曲线▪四边形▪四次方▪四次方程▪四次方根▪四面体▪四舍五入▪算术▪梯形▪体▪体积▪条形统计图▪统计▪图表▪图象▪椭圆▪外切圆▪外心▪微分▪微积分▪未知数▪无理数▪无穷大▪无穷小▪无效数字▪五边形▪五面体▪系数▪下舍入▪线▪线段▪相交▪相似▪相位▪小数▪小数点▪小于▪小于等于▪斜边▪行列式▪虚数▪旋转▪一次方程▪映射▪有理数▪有效数字▪余割▪余切▪余弦▪元素▪原点▪圆▪圆台▪圆心▪圆周▪圆周率▪圆柱▪圆锥▪运算▪运算符▪折线统计图▪振幅▪整数▪正▪正多边形▪正方形▪正割▪正切▪正态分布▪正弦▪证明▪直角▪直角边▪直角三角形▪直角梯形▪直径▪值域▪指数幂▪重心▪周长▪周角▪周期▪周期性▪轴▪柱形统计图▪子集▪自然数▪纵坐标▪组合▪坐标系▪坐标轴以上名词按中文名拼音首字母顺序排列相关文献基于Monte-Carlo方法计算定积分的算法研究-计算机与现代化-2011年第11期关于一些特殊类型的定积分计算的讨论-内江科技-2011年第2期(32)关于分段函数定积分的计算-高等数学研究-2011年第1期(14)查看更多相关文献定积分编辑[dìngjīfēn]众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。目录1积分2定义3黎曼积分4分点问题5性质6常用算法换元法分部积分法7基本定理8应用9定理1积分分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。不定积分（Indefiniteintegral）即已知导数求原函数。若F′（x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x），因为F(x)+C的导数也是f(x）（C是任意常数）。所以f(x）积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。定积分（definiteintegral）定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。定积分2定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,…，△xi=b-xi.在每个子区间（xi-1,xi）任取一点ξi(i=1,2,…,n），作和式（见右下图），设λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为（见右下图）：其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。之所以称其为定积定积分分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。3黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？4分点问题定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把