3.1 表示力学量的算符

量子力学中的力学量现在进一步讨论量子力学中微观粒子力学量的描述经典粒子在任何状态下它的力学量有确定值微观粒子由于波粒二象性，力学量有很大的不同，求法也有不同。用算符来表示，求解微粒有二象性波动性波函数微观粒子状态的描述算符的定义算符是作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号某种运算把函数u变为v，用符号表示为，为算符例如:羊肉羊肉串烧烤𝐹 𝑢=𝑣  𝐹𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥+1𝐴𝑓(𝑥)=2𝑥+1 → 𝐴=𝑑𝑑𝑥𝐵𝑓(𝑥)=13𝑥3+12𝑥2+𝑥+𝑐 → 𝐵=𝑑𝑥𝐶𝑓(𝑥)=𝑥22+𝑥2+12  →𝐶=12两算符𝑭,𝑮分别作用于任意波函数𝝓得到两个新函数𝑭𝝓,𝑮𝝓之和𝑭𝝓+𝑮𝝓等于另一个算符𝑲作用于𝝓的新函数𝑲𝝓则𝑲=𝑭+𝑮𝑭+𝑮𝝓=𝑭𝝓+𝑮𝝓算符的运算——加运算两个算符之和作用于一个波函数等于两个新函数之和，不是你作用完我在作用加运算𝐴+𝐵=𝐵+𝐴加法交换律𝐴+𝐵+𝐶=𝐴+𝐵+𝐶加法结合律两算符𝑭,𝑮相继作用于任意波函数𝝓得到一个新函数𝑭(𝑮𝝓)等于另一个算符𝑲作用于𝝓得到的新函数𝑲𝝓则𝐾=𝐹𝐺𝐹𝐺𝜙=𝐹𝐺𝜙=𝐾𝜙两个算符乘作用于一个波函数等于两个算符相继作用于该函数，你作用完我再作用算符的运算——乘运算一般来说，算符之积不满足交换律，即A𝐵≠𝐵𝐴比如：𝑥,𝑝𝑥算符的运算——复共轭、转置复共轭定义：算符𝑂的复共轭算符𝑂∗是这样构成的，即把𝑂的表示式中所有复量换成其共轭复量。举例：𝑝𝑥=−𝑖ℏ𝜕𝜕𝑥,𝑝𝑥∗=𝑖ℏ𝜕𝜕𝑥=−𝑝𝑥转置定义：算符𝑂的转置算符𝑂定义为𝜓∗𝑂𝜑𝑑𝜏=𝜑𝑂𝜓∗𝑑𝜏其中，𝜓与𝜑是两个任意波函数。可以证明：𝜕𝜕𝑥=−𝜕𝜕𝑥算符的运算——厄米共轭定义：算符𝑂的厄米共轭算符𝑂+的定义为𝜓∗𝑂+𝜑𝑑𝜏=𝑂𝜓∗𝜑𝑑𝜏即算符𝑂的转置算符再取复共轭𝑂+=𝑂∗举例：𝐴𝐵𝐶⋯+=⋯𝐶+𝐵+𝐴+本征方程与力学量算符本征方程本征值本征值波函数力学量算符例如：谐振子量子力学中1.算符对量子态进行变化，变成另一量子态2.每个力学量对应一个算符，通过算符得到力学量𝐴 𝜓 = 𝐴  𝜓𝜓𝑛(𝜉,𝑡)=𝑁𝑛𝑒−𝜉22𝐻𝑛(𝜉)𝑒−𝑖𝐸𝑛ℏ𝑡,  𝐻=−𝑖ℏ𝜕𝜕𝑡𝐻𝜓𝑛=2𝑛+12ℏ𝜔⋅𝑁𝑛𝐻𝑛𝑒−𝑖2𝑛+12ℏℏ𝜔⋅𝑡=2𝑛+12ℏ𝜔𝜓𝑛(𝜉,𝑡)动量𝑝→−𝑖ℏ𝛻即动量算符任何写出力学量算符？在以前章节，当波涵数表示为坐标x、y、z的函数，写薛定谔方程时，曾作如下代换三分量坐标𝑟→𝑟表示坐标的算符能量𝑝𝑥=−𝑖ℏ𝜕𝜕𝑥, 𝑝𝑦=−𝑖ℏ𝜕𝜕𝑦, 𝑝𝑧=−𝑖ℏ𝜕𝜕𝑧𝐸→𝑖ℏ𝜕𝜕𝑡  𝐻(𝑝,𝑟)→𝐻(−𝑖ℏ𝛻,𝑟)=−ℏ22𝜇𝛻2+𝑈(𝑟)从力学量的经典表示式，得出量子力学中表示该力学量的算符，规则：如果量子力学中的力学量F,在经典物理中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符𝐹由经典表式𝐹(𝑝,𝑟,将𝑝换为算符 −𝑖ℏ𝛻而得出,坐标不变只有量子力学中才有，而经典力学中没有的力学量，另行讨论如何写出力学量算符？以上规律同样适用于其他力学量力学量的算符写法举例例如：角动量例如：能量注意:矢量,标量,算符运算,方法类似𝐹=𝐹(𝑟,𝑝)=𝐹(𝑟,−𝑖ℏ𝛻𝐸=𝐻(𝑝,𝑟)=12𝜇𝑝·𝑝+𝑈(𝑟) 𝐻(−𝑖ℏ𝛻,𝑟)=−ℏ22𝜇𝛻2+𝑈(𝑟)𝐿=𝑟×𝑝𝐿=𝑟×𝑝=𝑟×(−𝑖ℏ𝛻)=−𝑖ℏ𝑟×𝛻力学量算符的性质本征方程例如：谐振子𝝍𝒏𝝃,𝒕=𝑵𝒏𝒆−𝝃𝟐/𝟐𝑯𝒏𝝃𝒆−𝒊𝑬𝒏/ℏ𝒕,𝑯=−𝒊ℏ𝝏𝝏𝒕𝑯𝝍𝒏=𝟐𝒏+𝟏𝟐ℏ𝝎𝑵𝒏𝑯𝒏𝒆−𝒊𝟐𝒏+𝟏𝟐ℏℏ𝝎𝒕本征值的物理意义?基本假定如果算符𝑭表示力学量F，那么体系处于算符的本征态𝝓时，力学量F有确定的值，这个值就是算符𝑭在𝝓态的本征值厄米算符𝐴 𝜓 = 𝐴  𝜓力学量算符的性质如果对任意函数𝝍和𝝓，算符𝑭都满足：𝝍∗𝑭𝝓𝒅𝒙=𝑭𝝍∗𝝓𝒅𝒙则算符𝑭称为厄米算符(即𝑭+=𝑭)所有物理量都是实数，可见表示力学量算符的本征值是力学量的可能值，所以本征值必须是实数。怎样的算符有这样的性质呢？厄米算符注意：任意两个函数、积分范围为整个区域证明厄米算符的本征值是实数因此，𝝀=𝝀∗为实数𝐹 𝜓 = 𝜆  𝜓  𝜙=𝜓𝜆𝜓∗𝜓𝑑𝑥=𝜓∗𝐹𝜓𝑑𝑥=𝐹𝜓∗𝜓𝑑𝑥=𝜆∗𝜓∗𝐹𝜓𝑑𝑥验证，坐标算符和动量算符是厄米算符坐标动量𝜓∗𝑝𝑥𝜙𝑑𝑥=−𝑖ℏ𝜓∗𝜕𝜙𝜕𝑥𝑑𝑥=−𝑖ℏ𝜓∗𝑑𝜙=−𝑖ℏ𝜓∗𝜙−∞∞+𝑖ℏ𝜙𝑑𝜓∗=𝑖ℏ𝜕𝜓∗𝜕𝑥𝜙𝑑𝑥=𝑖ℏ𝜕𝜕𝑥𝜓∗𝜙𝑑𝑥=−𝑖ℏ𝜕𝜕𝑥𝜓∗𝜙𝑑𝑥=𝑝𝑥𝜓∗𝜙𝑑𝑥常用力学量的厄米性lim0lim0xx𝜓∗𝑥𝜙𝑑𝑥∞−∞=𝑥𝜓∗𝜙𝑑𝑥∞−∞=𝑥𝜓∗𝜙𝑑𝑥∞−∞力学量算符的性质——线性算符如果对任意函数𝝍和𝝓，算符𝑭都满足：则算符𝑭称为线性算符𝒄𝟏,𝒄𝟐为任意常数线性算符作用后无交叉项，不违背叠加原理更重要一点在计算时可利用此性质和后作用=作用后再和𝐹(𝑐1𝜓+𝑐2𝜙)=𝑐1𝐹𝜓+𝑐2𝐹𝜙例如，𝑝=−𝑖ℏ𝛻,𝑑𝑥都是线性算符但去平方根显然不是线性算符，取复共轭也不是线性算符