3.1.1两角差的余弦公式

1.理解两角和与差的余弦公式及推导过程；3.掌握“变角”和“拆角”的方法.2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公式进行简单三角函数式的化简、求值；某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米，在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15o.求这座电视发射塔的高度.BDAC6045°150,tan6060cos15,60sin15.CDBDBCBDABABBCcos15?sin15?两角差的余弦公式的推导154530,cos15coscos=(45-30).(45-30)=？若为两个任意角,则成立吗?，cos()coscos60,30,30)coscos30.令显然cos(6060cos（α-β）公式的结构形式应该与哪些量有关系？发现：cos（α-β）公式的结构形式应该与sinα,cosα,sinβ,cosβ均有关系sin)2cos()cos(,2令则令,则cos)cos()cos(令,2则sin)2cos()cos(令,则cos)cos()cos(xyPP1MBOACsincoscoscos+11借助三角函数线来推导cos（α-β）公式coscos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ又OM＝OB＋BMOM＝cos(α-β)OB＝cosαcosβBM＝sinαsinβsinsin两角差的余弦公式有哪些结构特征？()Ccoscoscossinsin注意：1.公式的结构特点：等号的左边是复角α-β的余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的和。2.公式中的α,β是任意角。上述公式称为差角的余弦公式，记作简记“CCSS，符号要改”1.例利用差角余弦公式求cos15的值公式的运用coscoscos45cos30sin45sin30解法115（45-30）=2321222262.4完成本题后，你会求的值吗？coscoscoscos45sin60sin45解法215（60-45）=60sin7526sin75cos15.4452sin,(,),cos,5213cos().例已知是第三象限角，求的值cos(),分析要计算应作：哪些准备？24sin,(,),5231sin;5解：由得cos=-cos()coscossinsin35412()()51351333.65（）25cos,1312sin1cos.13又由是第三象限角，得先根据平方关系求两角的正、余弦值，再代入差角余弦公式求值.提升总结31.).233已知cos=，，2，求cos(5223cos2sin1cos13解：=，，253455cos()coscossinsin33313343().221034553cos13cos17sin13sin17(2)cos160cos50sin160cos40.例求值：(1)；(2)cos160cos50sin160cos40cos160cos50sin160sin50cos13cos17sin13sin173cos(13)cos30;2解：(1)3.2=cos(1600)cos30cos()coscossinsinα-βαβ+αβcosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)公式逆用2.cos53cos23sin53sin23求值：（1）；cos80cos35cos10cos55.（2）3cos5323)cos30.2解：(1)原式((2)cos80cos35sin80sin352cos(8035)cos45.2原式13coscos()0,252cos.例4已知=，=-，,求coscos().拆角思想提：:示13cos0,sin,222解：由=，得3cos()0,545.由=-，得sin(+)=公式活用coscos()cos()cossin()sin3143343.525210利用差角公式求值时，常常进行角的分拆与组合.即公式的变用.5(,).2336125cos()sin().313313解：（0，），，12.cos(),cos.3133已知为锐角，求coscos[()]33cos()cossin()sin3333121531253.13213226cos()coscossinsin1.两角差的余弦公式：2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.，（）33（）长期的心灰意懒以及烦恼足以致人于贫病枯萎。——布朗