通信原理教程2

1第二章信号2.1信号的类型2.1.1确知信号和随机信号什么是确知信号什么是随机信号2.1.2能量信号和功率信号信号的功率:设R=1,则P=V2/R=I2R=V2=I2信号的能量：设S代表V或I，若S随时间变化，则写为s(t),于是，信号的能量E=s2(t)dt能量信号：满足平均功率：，故能量信号的P=0。功率信号：P0的信号，即持续时间无穷的信号。能量信号的能量有限，但平均功率为0。功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。dt)t(sE022/T2/T2Tdt)t(sT1limP22.2确知信号的性质2.2.1频域性质功率信号的频谱：设s(t)为周期性功率信号，T0为周期，则有式中，0=2/T0=2f0∵C(jn0)是复数，∴C(jn0)=|Cn|ejn式中，|Cn|－频率为nf0的分量的振幅；n－频率为nf0的分量的相位。信号s(t)的傅里叶级数表示法：2/2/00000)(1)(TTtjndtetsTjnC2/2/00000)(1)(TTtjndtetsTjnC2/2/00000)(1)(TTtjndtetsTjnC2/2/00000)(1)(TTtjndtetsTjnC2/2/00000)(1)(TTtjndtetsTjnC2/T2/Ttjn00000dte)t(sT1)jn(Cntjn00e)jn(C)t(s3【例2.1】试求周期性方波的频谱。解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，幅度为V求频谱：t)Tt(f)t(f)2/T(t2/02/t2/V)t(f2nsinTnV2jneeTVejnVT1dtVeT1)jn(C0002/jn2/jn2/2/2/2/tjn0tjn000004频谱图5【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱。解：设此信号的表示式为求频谱：信号的傅里叶级数表示式：ttftftttf)1()(10)sin()(10222/2/00)14(2)sin()(1)(000ndtetdtetsTjnCntjTTtjn1f(t)tnntjentf221412)(6能量信号的频谱密度设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为：S()的逆变换为原信号：【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。解：设此矩形脉冲的表示式为则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：dtetsStj)()(dteStstj)()(2/02/1)(tttg2/)2/sin()(1)(2/2/2/2/jjtjeejdteG7【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。解：抽样函数的定义是而Sa(t)的频谱密度为：和上例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同，而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。【例2.5】单位冲激函数及其频谱密度。解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是：(t)的频谱密度：ttsin)t(Sa其他处011sin)(dtettSatj00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftj8Sa(t)及其频谱密度的曲线：函数的物理意义：高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。用抽样函数Sa(t)表示函数：Sa(t)有如下性质当k时，振幅，波形的零点间隔0，故有1)(dtktSakttt)(lim)(ktSaktkf(f)10t(t)09函数的性质对f(t)的抽样：函数是偶函数：函数是单位阶跃函数的导数：能量信号的频谱密度S(f)和功率信号的频谱C(jn0)的区别:S(f)－连续谱；C(jn0)－离散谱S(f)的单位：V/Hz；C(jn0)的单位：VS(f)在一频率点上的幅度＝无穷小。u(t)=(t)dt)tt()t(f)t(f00dttttftf)()()(00)t()t(0,1,0,0)(tttu当当t10图2.2.6单位阶跃函数10【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。解：设一个余弦波的表示式为f(t)=cos0t，则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算，可以写为参照式(2.2-7)，上式可以改写为引入(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。2)(2)(2lim2/)(]2/)sin[(2/)(]2/)sin[(2limcoslim)(0000002/2/0SaSadtteFtj)]()([)(00Ft0－00(b)频谱密度(a)波形11能量谱密度设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定：若此信号的频谱密度，为S(f)，则由巴塞伐尔定理得知：上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：式中，G(f)＝|S(f)|2（J/Hz）为能量谱密度。G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2是偶函数，∴dttsE)(2dffSdttsE22)()(dffGE)(0)(2dffGE12功率谱密度令s(t)的截短信号为sT(t)，-T/2tT/2，则有定义功率谱密度为：得到信号功率：dffSdttsETTTTTT2/2/22/2/2)()(2)(1lim)(fSTfPTTdffPdffSTPTTTT)()(1lim2/2/2132.2.2时域性质自相关函数能量信号的自相关函数定义：功率信号的自相关函数定义：性质：R()只和有关，和t无关当=0时，能量信号的R()等于信号的能量；功率信号的R()等于信号的平均功率。dttstsR)()()(2/2/)()(1lim)(TTTdttstsTR14互相关函数能量信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：性质：R12()只和有关，和t无关；证：令x=t+，则,)()()(2112dttstsR2/2/2112,)()(1lim)(TTTdttstsTR)()(1221RR)()]([)()()()()()(1221121221RdxxsxsdxxsxsdttstsR152.3随机信号的性质2.3.1随机变量的概率分布随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。随机变量的分布函数：定义：FX(x)=P(Xx)性质：∵P(aXb)+P(Xa)=P(Xb),P(aXb)=P(Xb)–P(Xa)，∴P(aXb)=FX(b)–FX(a)16离散随机变量的分布函数：设X的取值为：x1x2…xixn，其取值的概率分别为p1,p2,…,pi,…,pn，则有P(Xx1)=0,P(Xxn)=1∵P(Xxi)=P(X=x1)+P(X=x2)+…+P(X=xi),∴性质：FX(-)=0FX(+)=1若x1x2，则有:FX(x1)FX(x2)，为单调增函数。nikikXxxxxxpxxxF10)(111117连续随机变量的分布函数：当x连续时，由定义分布函数定义FX(x)=P(Xx)可知，FX(x)为一连续单调递增函数：182.3.2随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度pX(x)pX(x)的定义：pX(x)的意义：pX(x)是FX(x)的导数，是FX(x)曲线的斜率能够从pX(x)求出P(aXb)：pX(x)的性质：dxxdFxpXX)()(baXdxxpbXaP)()(xXXdyypxF)()(pX(x)01)(dxxpX19离散随机变量的概率密度离散随机变量的分布函数可以写为：式中，pi－x=xi的概率u(x)－单位阶跃函数将上式两端求导，得到其概率密度：性质：当xxi时，px(x)=0，当x=xi时，px(x)=niiiXxxupxF1)()(niiiXxxpxp1)()(202.4常见随机变量举例正态分布随机变量定义：概率密度式中，0,a=常数概率密度曲线：222)(exp21)(axxpX21均匀分布随机变量定义：概率密度式中，a，b为常数概率密度曲线：其他0)/(1)(bxaabxpXbax0pA(x)22瑞利(Rayleigh)分布随机变量定义：概率密度为式中，a0，为常数。概率密度曲线：0)exp(2)(2xaxaxxpX232.5随机变量的数字特征2.5.1数学期望定义：对于连续随机变量性质：若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在。dxxxpXEX)()(CCE)()()()(YEXEYXE)()()()(2121nnXEXEXEXXXE)()(XECXCE)()()(YEXEXYECE(X)E(CX)242.5.2方差定义：式中，方差的改写：证：对于离散随机变量，对于连续随机变量，性质：D(C)=0D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)])[()(22XXEXDX的数学期望－－标准偏差，XXX22)(XXXD222222222]2[])[(XXXXXXXXXEXXEiiipXxXD2)()(dxxpXxXDX)()()(2252.5.3矩定义：随机变量X的k阶矩为k阶原点矩：a=0时的矩：k阶中心矩：时的矩：性质：一阶原点矩为数学期望：二阶中心矩为方差：dxxpaxaXEXkk)()(])[(dxxpxXmXkk)()(XadxxpXxXMXkk)()()()()(1XEXm22)()(XXDXM262.6随机过程2.6.1随机过程的基本概念X(A,t)－事件A的全部可能“实现”的总体；X(Ai,t)－事件A的一个实现，为确定的时间函数；X(A,tk)－在给定时刻tk上的函数值。简记：X(A,t)X(t)X(Ai,t)Xi(t)例：接收机噪声随机过程的数字特征：统计平均值：方差：自相关函数：)()()]([iXXitmdxxxptXEi2)]}([)({)]([iiitXEtXEtXD)]()([),(2121tXtXEttRX272.6.2平稳随机过程平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程）广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。广义平稳随机过程的性质：严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。常数XmE[X(t)]常数